Vitesse et accélération dans le repère cylindrique

Passons au repère cylindrique: comme les vecteurs sont mobiles, les dérivées seront plus compliquées à gérer, mais beaucoup de termes vont se simplifier en fonction de la situation dans laquelle on se trouve.

 

 

Commençons par dériver le vecteur position pour trouver la vitesse. On rappelle son expression:

 

\(\vec{OM}=\)\(r\vec{e_{r}}\)\(+\)\(z\vec{k}\)

Sa dérivée par rapport au temps vaut donc:

\(\dot{\vec{OM}}=\)\(\dot{r}\vec{e_{r}}+r\dot{\vec{e_{r}}}\)\(+\)\(\dot{z}\vec{k}+z\dot{\vec{k}}\)

 

On sait déjà que \(\dot{\vec{k}}=\vec{0}\) (rappel: c’est parce que le vecteur est immobile). En revanche, comment dériver \(\vec{e_{r}}\)?

Pour cela, on va reprendre son expression dans le repère cartésien, qu’on trouvée dans la section “conversion cartésien-cylindrique”:

 

\(\vec{e_{r}}=\cos(\theta)\vec{i}+\sin(\theta)\vec{j}\)

 

Comme on l’a vu précédemment, c’est très facile de dériver dans le repère cartésien puisque les dérivées des vecteurs \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\) donneront toujours \(\vec{0}\) en raison de leur nature fixe.

On aimerait dériver par rapport au temps, mais il y a un problème: le temps n’apparaît pas explicitement dans l’expression ! On va donc dériver par rapport à \(\theta\) et utiliser la formule des dérivées composées qu’on a rappelée dans les sections précédentes: \(\frac{d\vec{e_{r}}}{dt}=\frac{d\vec{e_{r}}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}\).

 

Le premier terme du produit vaut: \(\frac{de_{r}}{d\theta}=-\sin(\theta)\vec{i}+\cos(\theta)\vec{j}\).

On reconnaît là le vecteur \(\vec{e_{\theta}}\) ! On a donc: \(\frac{d\vec{e_{r}}}{dt}=\vec{e_{\theta}}\frac{d\theta}{dt}\).

 

On va avoir besoin de dériver \(\vec{e_{\theta}}\) plus tard, on va donc le calculer avec la même méthode:

 

\(\vec{e_{\theta}}=-\sin(\theta)\vec{i}+\cos(\theta)\vec{j}\)

\(\frac{d\vec{e_{\theta}}}{d\theta}=-\cos(\theta)\vec{i}-\sin(\theta)\vec{j}=-\vec{e_{r}}\)

 

Ainsi, grâce à la formule de dérivées de fonctions composées \(\frac{d\vec{e_{\theta}}}{dt}=-\vec{e_{r}}\frac{d\theta}{dt}\).

📖 Important

\(\dot{\vec{e_{r}}}=\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}\)  et  \(\dot{\vec{e_{\theta}}}=-\dot{\theta}\vec{e_{r}}\)

Maintenant qu’on a toutes les dérivées qu’il nous manquait, il ne reste plus qu’à calculer explicitement la dérivée de \(\vec{OM}\) pour trouver la vitesse:

\(\dot{\vec{OM}}=\dot{r}\vec{e_{r}}+r\dot{\vec{e_{r}}}+\dot{z}\vec{k}+z\dot{\vec{k}}\)

\(=\)\(\dot{r}\vec{e_{r}}\)\(+\)\(r\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}\)\(+\)\(\dot{z}\vec{k}\)\(+\vec{0}\)

 

De même, on dérive encore une fois pour trouver l’expression de l’accélération:

 

\(\ddot{\vec{OM}}=\)\(\ddot{r}\vec{e_{r}}+r\dot{\vec{e_{r}}}\)\(+\)\(\dot{r}\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}+r\ddot{\theta}\vec{e_{\theta}}+r\dot{\theta}\dot{\vec{e_{\theta}}}\)\(+\)\(\ddot{z}\vec{k}+\vec{0}\)

 

Comme pour la vitesse, on remplace juste les dérivées des vecteurs par leurs valeurs explicites: 

 

\(\ddot{\vec{OM}}=\ddot{r}\vec{e_{r}}+\dot{r}\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}+\dot{r}\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}+r\ddot{\theta}\vec{e_{\theta}}+r\dot{\theta}(-\dot{\theta}\vec{e_{r}})+\ddot{z}\vec{k}\)

\(=\ddot{r}\vec{e_{r}}+2\dot{r}\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}+r\ddot{\theta}\vec{e_{\theta}}-r\dot{\theta}^{2}\vec{e_{r}}+\ddot{z}\vec{k}\)

 

Enfin, il ne reste qu’à regrouper les termes dépendant du même vecteur entre eux pour avoir une expression lisible. 

Dans la section sur les dérivées de fonctions, nous avons vu comment calculer la dérivée d’un produit de \(2,3,…,n\) fonctions: il suffit de dériver chaque terme de l’expression tour à tour, puis de tout additionner. C’est ce qu’on utilise ici pour calculer la dérivée de \(r\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}\).

📖 Important

Position, vitesse et accélération dans le repère cylindrique:

    • \(\vec{OM}=r\vec{e_{r}}+z\vec{k}\)
    • \(\vec{v}=\dot{r}\vec{e_{r}}+r\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}+\dot{z}\vec{k}\)
    • \(\vec{a}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})\vec{e_{r}}+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\vec{e_{\theta}}+\ddot{z}\vec{k}\)

Une question qu’on peut se poser en ne voyant que la partie théorique est: pourquoi est-il important de connaître l’expression explicite des vecteurs, alors qu’on laisse \(\dot{r}\), \(\dot{\theta}\) et \(\ddot{r}\) par exemple? C’est parce qu’en pratique, les coordonnées du point seront toujours données dans l’énoncé (ou bien à trouver dans une question), il est donc très facile de trouver leurs dérivées. Par exemple, si \(r=5t\), alors \(\dot{r}=5\) et \(\ddot{r}=0\).

Fountain Pen on OpenMoji 12.3Définition 5

La composante de l’accélération en \(\vec{e_{r}}\) (donc \(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}\)) est appelée l’accélération radiale du point \(M\). La composante en \(\vec{e_{\theta}}\) est l’accélération orthoradiale.

On vient de terminer la partie la plus difficile du chapitre; maintenant qu’on a déchiffré tous les secrets du repère cylindrique, il va falloir apprendre à le maîtriser ! Les prochains exercices ont pour but de vous familiariser avec ses principales utilisations.