Vitesse et accélération dans le repère cartésien

On aborde ici le cœur du chapitre: les notions de vitesse et d’accélération. Comment les définir? Que valent-elles dans les différents repères? On va répondre à ces questions dans les deux prochaines sections.

 

Définissons d’abord ces deux concepts de manière rigoureuse: intuitivement, la vitesse est une variation de notre position dans le temps. Autrement dit, c’est la dérivée par rapport au temps du vecteur position: \(\vec{v}=\dot{\vec{OM}}\).

De même, l’accélération est la dérivée temporelle de la vitesse, donc la dérivée seconde de la position: \(\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{OM}}\).

 

La vitesse et l’accélération sont donc bien des vecteurs, et non des quantités scalaires comme le suggère la façon dont on emploie ces termes au quotidien: quand on dit “je me déplace à telle vitesse”, on parle en réalité de la norme du vecteur vitesse.

On a donc juste à dériver le vecteur position pour trouver la vitesse et l’accélération d’un point \(M\). Pour rappel, ce vecteur s’écrit, dans le repère cartésien:

\(\vec{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\)

 

En utilisant la formule de dérivation d’un vecteur de la section précédente, on a alors:

 

\(\dot{\vec{OM}}=\dot{x}\vec{i}+x\dot{\vec{i}}+\dot{y}\vec{j}+y\dot{\vec{j}}+\dot{z}\vec{k}+z\dot{\vec{k}}\)

 

Mais on rappelle que le repère cartésien est fixe: les vecteurs \(\vec{i}\),\(\vec{j}\) et \(\vec{k}\) sont immobiles, ils ne varient pas en fonction du temps (ce sont des constantes). Leur dérivée vaut donc \(0\). Donc:

\(\dot{\vec{OM}}=\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}+\dot{z}\vec{k}\)

 

On a juste à dériver encore une fois pour trouver le vecteur accélération:

 

\(\ddot{\vec{OM}}=\ddot{x}\vec{i}+\ddot{y}\vec{j}+\ddot{z}\vec{k}\)

📖 Important

Position, vitesse et accélération dans le repère cartésien:

    • \(\vec{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\)
    • \(\vec{v}=\dot{\vec{OM}}=\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}+\dot{z}\vec{k}\)
    • \(\vec{a}=\ddot{\vec{OM}}=\ddot{x}\vec{i}+\ddot{y}\vec{j}+\ddot{z}\vec{k}\)

Plutôt facile à retenir, pas vrai? Attention, les expressions vont un peu se compliquer avec les coordonnées cylindriques.