Vecteurs, norme et addition

Dans cette section, nous allons rappeler la définition (informelle) d’un vecteur, et les opérations élémentaires qu’il est possible d’effectuer sur ces objets mathématiques.

 

Un vecteur est, informellement, une flèche. C’est donc l’outil idéal pour représenter beaucoup de paramètres physiques. En mécanique, en particulier, la position, la vitesse, l’accélération d’un point et les forces qui s’appliquent sur ce dernier sont représentées par des vecteurs. 

 

Concrètement, un vecteur est défini par trois paramètres:

 

    • Sa norme, qui est la longueur de la flèche. En mécanique, on parlera également de distance.
    • Sa direction: l’orientation de la flèche dans l’espace. 
    • Son sens, qui détermine vers où nous amène la flèche. 

Ces informations sont contenues dans ce qu’on appelle les coordonnées du vecteur, qui dépendent du repère auquel on se réfère. Les définitions rigoureuses de repère, de base et de coordonnées se trouvent dans le chapitre de cinématique.

Trois vecteurs dans le plan. Leurs coordonnées (à droite) sont calculées en se basant sur le repère cartésien standard. Par exemple, \(\vec{u}=3\vec{i}+2\vec{j}\).
Les deux flèches rouges ont le même sens, la même direction et la même norme: elles définissent donc le même vecteur. On dit que les vecteurs sont invariants par translation.

Les vecteurs dans le plan ont toujours 2 coordonnées, car le plan est de dimension 2. Les vecteurs dans l’espace en ont 3, car l’espace est de dimension 3. Le repère choisi change donc la valeur des coordonnées, mais pas leur nombre ! 

Les vecteurs, au sens général du terme, désignent les éléments d’un espace vectoriel. La “fonction vecteur” relie deux points d’un espace affine entre eux pour former un vecteur. C’est pour cela que deux vecteurs sont les mêmes bien qu’ils soient éloignés l’un de l’autre: c’est en fait la même fonction qui “relie” deux points entre eux.

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Fountain Pen on OpenMoji 12.3Définition 1

On considère un vecteur \(\vec{u}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\). La norme de \(\vec{u}\) est alors:

 

  •  \(||\vec{u}||=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\)

Grâce au théorème de Pythagore, on remarque facilement que la norme ainsi définie correspond bien à la longueur de la flèche.

Les quatre opérations qu’on peut effectuer sur les vecteurs sont l’addition, la multiplication, le produit scalaire et le produit vectoriel. La première est la plus simple  à visualiser: 

 

Somme de deux vecteurs

 

Pour créer le vecteur rouge, on a additionné les coordonnées des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) entre elles. 

La multiplication, quand à elle, va multiplier la longueur du vecteur, et donc sa norme: 

Produit d’un vecteur par un scalaire

Fountain Pen on OpenMoji 12.3Définition 2

Soient \(\vec{u}=\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}=\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}\). L’addition (ou la somme) de ces deux vecteurs vaut:

\(\vec{u}+\vec{v}=\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}\)

La multiplication de \(\vec{u}\) par un nombre réel \(C\) vaut: 

\(C\vec{u_1}=\begin{pmatrix}Cx_{1}\\Cy_{1}\\Cz_{1}\end{pmatrix}\)

On remarque que pour créer un vecteur, on effectue en fait une série d’additions et de multiplications des trois vecteurs du repère.

On va maintenant s’intéresser à une opération plus difficile à visualiser, mais d’une grande utilité dans le calcul vectoriel: le produit scalaire.