Exercices: pendules et poissons rouges

Ces deux exercices nous permettront de mieux appréhender les mouvements circulaires; vous vous en doutez, ce sont les coordonnées cylindriques que nous utiliserons principalement ici.

 

Exercice 4: pendule plan

Une bille de masse \(m\) (assimilée à un point \(M\)) est attachée à un fil de longueur \(l\); le fil fait un angle \(\theta\) avec l’axe vertical. On place l’origine \(O\) à l’autre extrémité du fil.

    1. Quelles sont les coordonnées cylindriques du point \(M\)?
    2. Donner l’accélération de \(M\) en fonction de l’angle \(\theta\).
    3. Quelles sont les valeurs de \(\theta\) possibles pour que cette accélération soit nulle? Est-ce physiquement possible?
    1.  
    2. Dérivez le vecteur position comme on l’a fait dans le cours.
    3. Pour qu’un vecteur soit nul, chacune de ses composantes \(\vec{e_{r}}\), \(\vec{e_{\theta}}\) et \(\vec{k}\) doit être nulle (remarque: c’est parce que ces vecteurs forment une base et sont donc indépendants l’un de l’autre).
    1. Par définition, le rayon \(r\) est la distance entre \(O\) et \(M\); ici, c’est la longueur du fil. On a donc \(r(t)=l\). De plus, le mouvement se passe dans un plan, la coordonnée \(z\) vaut donc \(0\). En revanche, on ne peut rien dire sur \(\theta\) pour l’instant. Les coordonnées cylindriques du point \(M\) sont donc:

\(\left\{ \begin{array}{ll} r(t)=l\\ \theta(t)=\theta(t)\\z(t)=0\\ \end{array} \right.\)

 

    1.  
    2. Le vecteur position s’écrit donc: \(\vec{OM}=l\vec{e_{r}}\). En se rappelant que \(\dot{\vec{e_{r}}}=\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}\) et \(\dot{\vec{e_{\theta}}}=-\dot{\theta}\vec{e_{r}}\), on dérive comme dans le cours pour retrouver la vitesse:

\(\vec{v}=\dot{l}\vec{e_{r}}+l\dot{\vec{e_{r}}}\)

\(=l\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}\)

En effet, \(l\) est une constante, donc sa dérivée \(\dot{l}\) vaut \(0\).

On dérive encore pour trouver l’accélération:

\(\vec{a}=\dot{l}\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}+l\ddot{\theta}\vec{e_{\theta}}+l\dot{\theta}\dot{\vec{e_{\theta}}}\)

\(=l\ddot{\theta}\vec{e_{\theta}}-l\dot{\theta}^{2}\vec{e_{r}}\)

 

Remarque: on peut aussi “recracher” la formule de l’accélération apprise par cœur, et remplacer \(r\) par \(l\) et \(z\) par \(0\). Je vous conseille néanmoins de savoir la retrouver !

 

3. Chaque composante de \(\vec{a}\) est indépendante, et doit donc valoir \(0\). On a donc: 

 

\(\left\{ \begin{array}{ll} l\ddot{\theta}=0\\ -l\dot{\theta}^{2}=0\\ \end{array} \right.\)

 

Ces équations se simplifient facilement: \(\ddot{\theta}=0\) et \(\dot{\theta}=0\). Cela veut dire que \(\theta\) doit être une constante, ce qui est impossible ! En effet, cela impliquerait que notre pendule ne bouge tout simplement pas, ce qui n’est pas réaliste d’un point de vue physique.

 

Remarque: “l’accélération est nulle” peut également se traduire par “la vitesse est constante”. On pouvait donc simplement partir de l’équation de la vitesse, et résoudre l’équation \(l\dot{\theta}=C\) où \(C\) est une constante. Cette équation ne nous donne malheureusement pas assez d’informations pour résoudre le problème, là où celle de l’accélération impose directement \(\dot{\theta}=0\).

Exercice 5: la ronde d'un poisson rouge

Un poisson rouge se promène dans son bocal. Le mouvement de son centre d’inertie \(M\) dans un repère orthonormal \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) est décrit par les équations suivantes:

 

\(\left\{ \begin{array}{ll} x(t)=R\cos(\omega t)\\ y(t)=R\sin(\omega t)\\z(t)=0\\ \end{array} \right.\)

 

 

\(\omega\) et \(R\) désignant deux constantes positives.

 

 

    1. Quelle est la forme de la trajectoire du poisson? Trouver une relation entre les coordonnées \(x\) et \(y\).
    2. En coordonnées cartésiennes:
      • Déterminer le vecteur vitesse ainsi que sa norme. Quelle caractéristique le mouvement présente-t-il ?
      • Etablir une relation simple entre les vecteurs position \(\vec{OM}\) et accélération \(\vec{a}\).
    3. Refaire ces calculs en coordonnées polaires.
    4. Las d’effectuer toujours le même trajet, le poisson décide d’ajouter une petite composante verticale \(z(t)=v_{0}t\) au mouvement précédent, où \(v_{0}\) est une constante positive. Quelle est alors la nature du mouvement du centre d’inertie du poisson?
    1. Utilisez la relation fondamentale de la trigonométrie: \(\cos^{2}(a)+\sin^{2}(a)=1\).
    2.  
    3. Utilisez les relations qu’on a déterminées précédemment pour passer des coordonnées cartésiennes aux cylindriques.
    4. Essayez de visualiser la trajectoire. Indice: regardez l’image du début du chapitre !

1.Les équations du mouvement font intervenir des fonctions trigonométriques, le mouvement est donc sûrement circulaire…pour en être sûr, on peut vérifier que le rayon est constant (c’est en effet la définition d’un cercle). La relation de passage des coordonnées cartésiennes aux cylindriques donne: 

\(r(t)^{2}=x(t)^{2}+y’t)^{2}\)

\(=R^{2}(\cos^{2}(\omega t)+\sin^{2}(\omega t))\)

\(=R^{2}\)

Le mouvement est donc bien circulaire.

 

Remarque: de manière générale, \(x^{2}+y^{2}=a^{2}\) est l’équation d’un cercle de rayon \(a\).

 

2.Le vecteur position s’écrit:

\(\vec{OM}=R\cos(\omega t)\vec{i}+R\sin(\omega t)\vec{j}\)

Le vecteur vitesse vaut donc:

\(\vec{v}=-R\omega\sin(\omega t)\vec{i}+R\omega\cos(\omega t)\vec{j}\)

Sa norme est donc:

\(\left\|\vec{v}\right\|=\sqrt{(-R\omega\sin(\omega t))^{2}+(R\omega\cos(\omega t))^{2}}\)

\(=\sqrt{(R\omega)^{2}(\sin^{2}(\omega t)+\cos^{2}(\omega t))}\)

\(=R\omega\)

Ainsi, la vitesse est constante, donc le mouvement se fait de manière uniforme; il est circulaire uniforme.

 

On dérive encore une fois pour obtenir l’accélération:

 

\(\vec{a}=-\omega^{2}R\cos(\omega t)\vec{i}-\omega{2}R\sin(\omega t)\vec{j}\)

\(=-\omega{2}(R\cos(\omega t)\vec{i}+R\sin(\omega t)\vec{j})\)

\(=-\omega^{2}\vec{OM}\)

 

3.On utilise les relations de passages pour obtenir les coordonnées polaires: dans la question 1., on a déjà trouvé que \(r^{2}(t)=R^{2}\), donc \(r(t)=R\).

De plus, on sait que

\(\theta=\arctan(\frac{y}{x})\)

\(=\arctan(\frac{R\sin(\omega t)}{R\cos(\omega t)})\)

\(=\arctan(\tan(\omega t))\)

\(=\omega t\)

 

Remarque: donc \(\omega=\dot{\theta}\) est la vitesse angulaire du poisson, c’est à dire le nombre de tours qu’il fait par minute.

 

En dérivant le vecteur position, on retrouve facilement la vitesse et l’accélération: 

 

\(\vec{OM}=R\vec{e_{r}}\)

\(\vec{v}=R\omega \vec{e_{\theta}}\)

\(\vec{a}=-R\omega^{2}\vec{e_{r}}\)

 

On vérifie bien la relation déjà trouvée: \(\vec{a}=-\omega^{2}\vec{OM}\).

 

4.Le poisson fait des cercles tout en montant progressivement: on dit que sa trajectoire est une hélicoïde. Le mouvement est hélicoïdal (et même uniforme en quelque sorte, puisque c’est la combinaison d’un mouvement circulaire uniforme et d’un mouvement rectiligne uniforme).

Les mouvements circulaires peuvent servir à modéliser beaucoup de situations, c’est pour cela que les coordonnées cylindriques et polaires sont aussi importantes en mécanique. En théorie, on a terminé tout ce qu’il y a à savoir pour ce chapitre ! Dans les prochaines sections, je vous propose de vous entraîner davantage sur les projections, qui seront d’une importance capitale pendant toute l’année, ou bien de découvrir d’autres systèmes de coordonnées.