Ces deux exercices nous permettront de mieux appréhender les mouvements circulaires; vous vous en doutez, ce sont les coordonnées cylindriques que nous utiliserons principalement ici.
Une bille de masse \(m\) (assimilée à un point \(M\)) est attachée à un fil de longueur \(l\); le fil fait un angle \(\theta\) avec l’axe vertical. On place l’origine \(O\) à l’autre extrémité du fil.
\(\left\{ \begin{array}{ll} r(t)=l\\ \theta(t)=\theta(t)\\z(t)=0\\ \end{array} \right.\)
\(\vec{v}=\dot{l}\vec{e_{r}}+l\dot{\vec{e_{r}}}\)
\(=l\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}\)
En effet, \(l\) est une constante, donc sa dérivée \(\dot{l}\) vaut \(0\).
On dérive encore pour trouver l’accélération:
\(\vec{a}=\dot{l}\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}+l\ddot{\theta}\vec{e_{\theta}}+l\dot{\theta}\dot{\vec{e_{\theta}}}\)
\(=l\ddot{\theta}\vec{e_{\theta}}-l\dot{\theta}^{2}\vec{e_{r}}\)
Remarque: on peut aussi “recracher” la formule de l’accélération apprise par cœur, et remplacer \(r\) par \(l\) et \(z\) par \(0\). Je vous conseille néanmoins de savoir la retrouver !
3. Chaque composante de \(\vec{a}\) est indépendante, et doit donc valoir \(0\). On a donc:
\(\left\{ \begin{array}{ll} l\ddot{\theta}=0\\ -l\dot{\theta}^{2}=0\\ \end{array} \right.\)
Ces équations se simplifient facilement: \(\ddot{\theta}=0\) et \(\dot{\theta}=0\). Cela veut dire que \(\theta\) doit être une constante, ce qui est impossible ! En effet, cela impliquerait que notre pendule ne bouge tout simplement pas, ce qui n’est pas réaliste d’un point de vue physique.
Remarque: “l’accélération est nulle” peut également se traduire par “la vitesse est constante”. On pouvait donc simplement partir de l’équation de la vitesse, et résoudre l’équation \(l\dot{\theta}=C\) où \(C\) est une constante. Cette équation ne nous donne malheureusement pas assez d’informations pour résoudre le problème, là où celle de l’accélération impose directement \(\dot{\theta}=0\).
Un poisson rouge se promène dans son bocal. Le mouvement de son centre d’inertie \(M\) dans un repère orthonormal \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) est décrit par les équations suivantes:
\(\left\{ \begin{array}{ll} x(t)=R\cos(\omega t)\\ y(t)=R\sin(\omega t)\\z(t)=0\\ \end{array} \right.\)
\(\omega\) et \(R\) désignant deux constantes positives.
1.Les équations du mouvement font intervenir des fonctions trigonométriques, le mouvement est donc sûrement circulaire…pour en être sûr, on peut vérifier que le rayon est constant (c’est en effet la définition d’un cercle). La relation de passage des coordonnées cartésiennes aux cylindriques donne:
\(r(t)^{2}=x(t)^{2}+y’t)^{2}\)
\(=R^{2}(\cos^{2}(\omega t)+\sin^{2}(\omega t))\)
\(=R^{2}\)
Le mouvement est donc bien circulaire.
Remarque: de manière générale, \(x^{2}+y^{2}=a^{2}\) est l’équation d’un cercle de rayon \(a\).
2.Le vecteur position s’écrit:
\(\vec{OM}=R\cos(\omega t)\vec{i}+R\sin(\omega t)\vec{j}\)
Le vecteur vitesse vaut donc:
\(\vec{v}=-R\omega\sin(\omega t)\vec{i}+R\omega\cos(\omega t)\vec{j}\)
Sa norme est donc:
\(\left\|\vec{v}\right\|=\sqrt{(-R\omega\sin(\omega t))^{2}+(R\omega\cos(\omega t))^{2}}\)
\(=\sqrt{(R\omega)^{2}(\sin^{2}(\omega t)+\cos^{2}(\omega t))}\)
\(=R\omega\)
Ainsi, la vitesse est constante, donc le mouvement se fait de manière uniforme; il est circulaire uniforme.
On dérive encore une fois pour obtenir l’accélération:
\(\vec{a}=-\omega^{2}R\cos(\omega t)\vec{i}-\omega{2}R\sin(\omega t)\vec{j}\)
\(=-\omega{2}(R\cos(\omega t)\vec{i}+R\sin(\omega t)\vec{j})\)
\(=-\omega^{2}\vec{OM}\)
3.On utilise les relations de passages pour obtenir les coordonnées polaires: dans la question 1., on a déjà trouvé que \(r^{2}(t)=R^{2}\), donc \(r(t)=R\).
De plus, on sait que
\(\theta=\arctan(\frac{y}{x})\)
\(=\arctan(\frac{R\sin(\omega t)}{R\cos(\omega t)})\)
\(=\arctan(\tan(\omega t))\)
\(=\omega t\)
Remarque: donc \(\omega=\dot{\theta}\) est la vitesse angulaire du poisson, c’est à dire le nombre de tours qu’il fait par minute.
En dérivant le vecteur position, on retrouve facilement la vitesse et l’accélération:
\(\vec{OM}=R\vec{e_{r}}\)
\(\vec{v}=R\omega \vec{e_{\theta}}\)
\(\vec{a}=-R\omega^{2}\vec{e_{r}}\)
On vérifie bien la relation déjà trouvée: \(\vec{a}=-\omega^{2}\vec{OM}\).
4.Le poisson fait des cercles tout en montant progressivement: on dit que sa trajectoire est une hélicoïde. Le mouvement est hélicoïdal (et même uniforme en quelque sorte, puisque c’est la combinaison d’un mouvement circulaire uniforme et d’un mouvement rectiligne uniforme).
Les mouvements circulaires peuvent servir à modéliser beaucoup de situations, c’est pour cela que les coordonnées cylindriques et polaires sont aussi importantes en mécanique. En théorie, on a terminé tout ce qu’il y a à savoir pour ce chapitre ! Dans les prochaines sections, je vous propose de vous entraîner davantage sur les projections, qui seront d’une importance capitale pendant toute l’année, ou bien de découvrir d’autres systèmes de coordonnées.