Exercice: passage du cartésien au cylindrique

Un petit exercice de géométrie pour apprendre à jongler entre les deux repères que nous connaissons.

 

 

Exercice 3: changement de repère

 

On considère le repère polaire et le repère cartésien ci-dessus. 

 

1. Exprimer \(r\) et \(\theta\) en fonction de \(x\) et \(y\).

 

2.Exprimer \(\vec{e_{r}}\) et \(\vec{e_{\theta}}\) en fonction de \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\).

1.Pour \(r\), pensez au théorème de Pythagore. Pour \(\theta\), que vaut \(\frac{y}{x}\) avec les coordonnées polaires?

 

2.Utilisez la même méthode de projection que dans la section précédente.

1.On peut tracer un triangle rectangle de côtés \(x\), \(y\) et \(r\). Par Pythagore, on a immédiatement: \(r^{2}=x^{2}+y^{2}\), donc \(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\).

 

D’après les relations démontrées en section précédente (et qu’on peut redémontrer très facilement), on a \(x=r\cos(\theta)\) et \(y=r\sin(\theta)\). On va essayer de simplifier le terme \(r\), qu’on ne veut pas dans notre expression. 

C’est très facile à faire, puisque \(\frac{y}{x}=\frac{r\sin(\theta)}{r\cos(\theta)}=\tan(\theta)\). Ainsi, en appliquant la réciproque: \(\theta=\arctan(\frac{y}{x})\).

 

Remarque: On aurait aussi pu faire \(\frac{x}{y}\), mais on serait alors tombé sur la fonction cotangante (qui vaut \(\frac{1}{\tan(\theta)}\)), avec laquelle on aurait été beaucoup moins à l’aise (déjà qu’avec l’arctangente…).

 

2.On projette de la même manière que précédemment, c’est même plus simple à visualiser depuis la base cartésienne: on se sert de l’angle \(\theta\) entre les vecteurs \(\vec{e_{\theta}}\) et \(\vec{j}\) (faites un schéma en dessinant les vecteurs pour vous en convaincre) et on trouve:

    • \(\vec{e_{r}}=\cos(\theta)\vec{i}+\sin(\theta)\vec{j}\)
    • \(\vec{e_{\theta}}=-\sin(\theta)\vec{i}+\cos(\theta)\vec{j}\)

Remarque: on retrouve \(\vec{e_{\theta}}\) en dérivant \(\vec{e_{r}}\): \(\frac{d}{d\theta}\cos(\theta)=-\sin(\theta)\) et \(\frac{d}{d\theta}\sin(\theta)=\cos(\theta)\). Non seulement c’est pratique pour vérifier que le résultat est juste, mais on verra que ça a également une grande importance pour la suite !

📖 Important

Conversion cartésien \(\leftrightarrow\) cylindrique:

 

\(\left\{ \begin{array}{ll} x=r\cos(\theta)\\ y=r\sin(\theta)\\ \end{array} \right.\)                          \(\left\{ \begin{array}{ll} r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\\theta=\arctan(\frac{y}{x})\\ \end{array} \right.\)

On vient de terminer toute la partie relative à la géométrie ! Rappelez vous des méthodes qu’on a utilisées pour passer d’un repère à l’autre (Pythagore, cercle trigonométrique et projections), on ne va pas tarder à se resservir de ces résultats. Prochaine (et dernière) étape: exprimer la vitesse et l’accélération d’un point dans les deux repères que nous connaissons. Mais avant ça, faisons un rappel sur les dérivées de vecteurs et de fonctions composées.