Ondes : fiche d'exercices

Ce qu’il faut savoir faire pour le contrôle continu:

 

    • Définir une onde à partir de l’équation de d’Alembert, et connaître la forme générale de ses solutions
    • Utiliser une condition initiale pour établir une onde stationnaire, et en trouver les nœuds et ventres de vibration
    • Mettre en évidence des modes propres à partir de deux conditions initiales
    • Connaître la définition d’un phénomène de battements
    • Calculer une modification de fréquence due à l’effet Doppler

Exercice 1 : Fonction d'onde

    1. Donner l’équation d’Alembert.
    2. Les fonctions suivantes sont-elles des ondes ? Donner alors l’amplitude, la vitesse, le vecteur d’onde et la pulsation propre de l’onde correspondante.
      • $$\Psi_1(x,t)= E_0e^{i(kx-\omega t)}$$
      • $$\Psi_2(x,t)=A \sin(4x^2)cos(-\omega t)$$
      • $$\Psi_3(x,t)=C \sin(2a t + \sqrt b x) $$
    1. Regardez dans le cours !
    2. Quelle est la définition d’une onde ?
    1. D’après le cours, l’équation de d’Alembert s’écrit : $$\dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2 y}{x^2}=0$$ où $y(x,t)$ désigne une fonctio d’onde (variation de hauteur, de pression…), $v$ sa vitesse de propagation et $x$ l’axe sur lequel elle se propage.
    2. On a défini une onde comme une solution de l’équation de d’Alembert : il ne reste qu’à remplacer $y$ par les différentes fonctions proposées pour voir si elles sont solutions de l’équation.
      • Calculons la valeur de $\dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2 \Psi_1(x,t)}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2 \Psi_1(x,t)}{x^2}$. En remplaçant puis en factorisant, on trouve : $$E_0e^{i(kx-\omega t)}(-\dfrac{k^2}{v^2}+\omega^2)$$ Ce membre doit valoir $0$ pour être solution de l’équation de d’Alembert. Autrement dit, on doit avoir : $$-\dfrac{k^2}{v^2}+\omega^2=0$$ Soit $v=\dfrac{\omega}{k}$. Cela est vrai si on considère que $\omega$, $k$ et $v$ sont respectivement la pulsation, le nombre d’ondes et la vitesse de propagation de l’onde. Ainsi, $\Psi_1$ est solution de l’équation de d’Alembert, et représente donc bien une onde.
      • En appliquant la même démarche, on trouve cette fois que le premier membre est différent de $0$ : $\Psi_2$ ne définit donc pas une onde.
      • Par la même méthode, on trouve cette fois l’équation : $$-\dfrac{4a^2}{v^2}+b=0$$ ou encore $v=\dfrac{2a}{\sqrt{b}}$. Autrement dit, $\Psi_3$ est une onde si cette relation est respectée. Si on considère que $\Psi_3$ a pour pulsation $2a$ et pour nombre d’onde $\sqrt{b}$, alors c’est bien le cas !

Exercice 2 : Corde de guitare

    1. Qu’est-ce qu’une onde stationnaire ?
    2. Une corde d’une guitare est fixée en x=0 et x=L=60cm. Sur cette corde se propage une onde d’équation $A\sin (\omega t – k x )$. A cette onde se superpose l’onde réfléchie : trouver l’expression de l’onde stationnaire en fonction de $t$ et $x$.
    3. Donner la formule exprimant les longueurs d’ondes accessibles pour cette longueur de corde $L$. Quelle est celle du mode de vibration fondamental ?
    4. La corde est tendue par une constante de raideur $\theta = 105 N$ et de densité linéique $\mu = 0,3$ $kg.m^{-1}$. Quelle est la vitesse de propagation de l’onde ? En déduire la fréquence de l’onde fondamentale.
    5. Le guitariste bloque à présent sa corde à une distance $L’ = 50 cm$. Quelle est la nouvelle longueur d’onde fondamentale de l’onde stationnaire et quelle est sa fréquence associée ?
    1. Regardez dans le cours !
    2. Cette situation est analogue à celle étudiée en cours : écrivez l’expression de l’onde, puis utilisez la condition aux limites $y(0,t)=0$ pour simplifier son expression. Utilisez enfin les formules de duplication du sinus pour la mettre sous la forme donnée en 1.
    3. Utilisez la seconde condition aux limites.
    4. La vitesse de propagation dans le cas d’une corde est donnée dans le cours.
    5.  
    1. D’après le cours, une onde stationnaire est une fonction de la forme : $$y(x,t)=A\sin(kx+\phi)\cos(\omega t+\varphi)$$
    2. La démarche est identique à celle du cours. On peut écrire l’onde réfléchie sous la forme : $$\sin(\omega t+kx)$$ Les deux ondes finissent donc par se superposer. En utilisant la condition aux limites $y(0,t)=0$, on trouve que $B=-A$ puis, en développant les sinus : $$y(x,t)=-2A\sin(kx)\cos(\omega t)$$
    3. On utilise ensuite la deuxième conditions aux limites : $y(L,t)=0$. Autrement dit : $$-2A\sin(kL)\cos(\omega t)=0$$ On cherche les valeurs de $\lambda$, donc celles de $k$. En simplifiant par $-2A$ et par $\cos(\omega t)$, on a ainsi : $$\sin(kL)=0$$ Soit $kL=m\pi$, avec $m$ un entier relatif. Donc $k=m\dfrac{\pi}{L}$, et comme $k$ est directement lié à la longueur d’onde par $k=\dfrac{2\pi}{\lambda}$, on obtient : $$\lambda=\dfrac{2L}{m}$$ Le mode fondamental ($m=1$) correspond donc à une longueur d’onde $\lambda=2L=30$ $cm$
    4. D’après le cours, la vitesse de propagation d’une onde sur une corde est: $$v=\sqrt{\dfrac{\theta}{\mu}}$$ Une application numérique nous donne alors que $v=\sqrt{350}\simeq 19 $ $m.s^{-1}$
    5. On a maintenant $\lambda=2L’=25$ $cm$ pour le mode fondamental. Il reste à relier $\lambda$ à la fréquence : on utilise pour cela la relation $\dfrac{\lambda}{T}=v$, soit $\lambda f=v$. On a ainsi : $$f=\dfrac{v}{\lambda}=\dfrac{v}{2L’}$$

Exercice 3 : Ondes de pression

On considère un tuyau de longueur $L$, ouvert à une extrémité et fermé en l’autre. On souffle dans l’extrémité ouverte, créant une onde qui se propage dans le tuyau.

    1. Dans ce problème, quel est le paramètre qu’on peut considérer comme une onde ? Quelles sont alors les conditions aux limites ?
    2.  A l’aide d’une condition aux limites, montrer qu’une onde stationnaire se forme dans le tuyau.
    3. En utilisant l’autre condition, mettre en évidence l’existence de modes de vibrations.
    4. Dessiner les trois premiers modes de vibration.
    5. Le problème aurait-il été différent si le tuyau était ouvert aux deux extrémités ?
    1. Lorsqu’on souffle dans le tuyau, quelle grandeur physique va être perturbée ? 
    2. Utilisez la méthode vue en cours.
    3. Quelle est la valeur maximale possible pour un sinus ?
    4.  Cherchez les nœuds de vibration.
    5.  
    1. En soufflant, on crée un certain mouvement moléculaire $N$, ou encore une variation de pression $P$ : ces deux paramètres équivalents peuvent ainsi être considérés comme des ondes. La première extrémité est ouverte, et la pression qui y règne est alors la même que la pression extérieure, qu’on peut noter $P_0$. Comme seule la différence de pression compte, on notera cette pression $0$. La seconde extrémité est fermée, les molécules sont “compressées” contre la paroi et subissent alors une pression maximale. On peut alors écrire les deux conditions aux limites : $$P(0,t)=0 \qquad P(L,t)=P_{max}$$
    2.  Le problème a été formalisé, et la méthode est maintenant à nouveau celle du cours. L’onde est une solution de l’équation de d’Alembert, donc de la forme : $$P(x,t)=A\sin(\omega t-kx)+B\sin(\omega t+kx)$$ En utilisant la première condition aux limites, on trouve que $B=-A$. Puis, en développant les sinus : $$P(x,t)=-2A\sin(kx)\cos(\omega t)$$
    3. Là encore, on reste dans le cours. La seconde condition nous donne : $$P(L,t)=-2A\sin(kL)\cos(\omega t)=P_{max}$$ La seule différence étant qu’avec cette condition aux limites, notre onde ne vaut plus $0$ à l’extrémité, elle est au contraire maximale ! Le sinus doit donc être maximal, autrement dit $\sin(kL)=1$. Finalement, $kL$ doit être un multiple impair de $\dfrac{\pi}{2}$ : $$k=(2m+1)\dfrac{\pi}{2L}$$ où $m$ est un entier relatif. Ainsi, la valeur de $k$ (et donc de la longueur d’onde et de la fréquence, puisque toutes ces grandeurs sont reliées) dépend de $m$ : chaque valeur de $m$ est un mode de vibration.
    4. Pour représenter l’onde, le plus simple est de trouver où sont ses noeuds de vibrations. On cherche donc les $x$ pour lesquels $P(x,t)=0$. Autrement dit, $\sin(kx)=0$ et finalement : $$x=n\dfrac{\pi}{k}$$ où $n$ est un entier relatif. En remplaçant $k$ par sa valeur trouvée en 3., on trouve que les noeuds de vibrations sont en : $$x=n\dfrac{2L}{2m+1}$$ Pour $m=1$, on a ainsi un noeud situé en $x=0\dfrac{2L}{1}=0$, les autres valeurs dépassant la longueur de la corde $L$. En faisant de même pour $m=2$ et $m=3$, on peut représenter les différents modes de vibration dans le tuyau (plus l’espace coloré est grand, plus la pression est importante). $$$$
    5.  Si on avait un tuyau ouvert aux deux extrémités, les conditions aux limites auraient impliqué une pression nulle aux deux extrémités (à l’image d’une corde dont on fixe deux extrémités). La méthode de résolution aurait été analogue, mais les modes de vibration auraient une allure différente. $$$$ $$$$ De même, un tuyau fermé aux deux extrémités aurait encore eu des modes de vibrations différents en raison de ses conditions aux limites différentes : finalement, ce sont vraiment ces conditions qui déterminent la physique qu’on observe !

Exercice 4 : Effet Doppler

Deux sources sonores ponctuelles $S_1$

 et $S_2$ immobiles, séparées d’une distance $d$, de même fréquence et de même amplitude, émettent en phase dans l’espace. Un observateur $O$ se déplace de l’une à l’autre à vitesse constante $v$ supposée très inférieure à la vitesse $u$ de propagation des ondes sonores $(v<<u)$. On supposera que l’intensité des sources perçues par l’observateur est constante, quelle que soit sa position.

 

    1. Calculer la fréquence $\nu_1$ perçue par l’observateur et provenant de la source $S_1$.
    2. Calculer la fréquence $\nu_2$ perçue par l’observateur et provenant de la source $S_2$.
    3. Justifier succinctement que l’observateur perçoit un phénomène de battements. Quelle période reçoit alors l’observateur ?

 

    1. Partez de l’égalité : $t_1=\dfrac{D(t_1)}{u}$, puis exprimez $D(t_1)$ en fonction de la distance d’origine $D(0)$.
    2. Idem
    3. Les fréquences reçue par l’observateur sont-elles proches ou bien distinctes ?
    1. On utilise la méthode vue en vidéo :
      • A t=0 : $S_1$ émet une onde, qui est reçue par l’observateur en $$t_1=\dfrac{D(t_1}{u}=\dfrac{D(0)+vt_1}{u}$$. En réarrangeant l’équation, on obtient alors : $$t_1=\dfrac{d}{u-v}$$
      • A t=T, en appelant $T$ la période de l’onde : l’onde que $S_1$ avait commencé à émettre se répete, et elle est reçue au bout de $$t_2=\dfrac{D(t_2)}{u}=\dfrac{D(T)+vt_1}{u}=\dfrac{D(0)+vT+vt_1}{u}$$ Soit, en réarrangeant l’équation : $$t_2=\dfrac{d+vT}{u-v}$$  La période reçue par l’observateur vaut alors le temps qu’il a attendu entre le premier signal (reçu en $t_1$) et le second signal (reçu en $T+t_2$), soit : $$T_1=\dfrac{u}{u-v}T$$ On prend l’inverse pour obtenir la fréquence : $$\nu_1=\dfrac{u-v}{u}\nu$$ avec $\nu$ la fréquence de l’onde. On remarque que la fréquence perçue est plus faible que la fréquence émise, comme lorsqu’une sirène d’ambulance s’éloigne de nous et qu’on entend un son plus grave ! Ici, c’est l’observateur qui s’éloigne de la source, le phénomène étant strictement équivalent.
    2. Les calculs sont exactement les mêmes : on peut soit reprendre la même démarche, soit remarquer que la situation est la même qu’en 1., à ceci-près que l’observateur se déplace cette fois vers la source, ce qui revient à prendre l’opposé de la vitesse $v$ utilisée précédemment. On obtient alors :$$\nu_2=\dfrac{u+v}{u}\nu$$ La fréquence perçue est cette fois plus élevée, se traduisant par un son plus aigu.
    3. Comme $v<<u$, l’observateur reçoit deux fréquences très voisines. Autrement dit, c’est comme deux ondes presque identiques se superposaient, ce qui est caractéristique des battements. L’observateur reçoit à la fois l’onde de période $T_1$ et celle de période $T_2$, qui sont quasiment les mêmes, et n’a donc qu’à attendre le temps $T_2-T_1$ pour entendre le même signal. La période qu’il reçoit est donc : $$T_2-T_1=\dfrac{u+v}{u}T-\dfrac{u-v}{u}T=\dfrac{2v}{u}T$$