Exercices: mouvements rectilignes et circulaires

On commence en douceur avec deux exercices qui nous apprendront à écrire le vecteur position des deux types de mouvements les plus courants. Pour ça, on se basera sur des raisonnements géométriques, et un peu de trigonométrie: ces notions sont supposées acquises depuis la terminale, mais il est très important de bien les maîtriser pour la suite du cours.

 

 

Fountain Pen on OpenMoji 12.3Définition 3

    • Un mouvement en ligne droite (seule une des trois coordonnées varie) est un mouvement rectiligne. Si en plus il se fait linéairement, il est rectiligne uniforme
    • Un mouvement selon un cercle est un mouvement circulaire. Si en plus le mouvement se fait linéairement, il est circulaire uniforme.

“Le mouvement varie linéairement” signifie informellement que la trajectoire est régulière, sans changement. On verra plus tard dans le cours que c’est équivalent à:

    • La vitesse est constante
    • L’accélération est nulle

Exercice 1: mouvement rectiligne uniforme

Un autostoppeur est situé à une distance \(d=5\) m d’une route. Juste à sa gauche, il aperçoit une voiture qui roule à la vitesse constante \(v=30\) m/s (et qui, malheureusement pour lui, ne s’arrête pas !). Le but de l’exercice est de déterminer la distance entre la voiture et l’autostoppeur en fonction du temps. On considère que l’origine \(t=0\) s est prise au moment où la voiture passe devant l’autostoppeur.

 

1.Comment placer l’origine et les vecteurs de la base cartésienne pour résoudre facilement le problème?

2.Déterminer le vecteur position de la voiture.

3.En déduire la distance voiture-autostoppeur pour tout instant t. Combien vaudra cette distance à \(t=10\) s ?

4.Comment aurait-on pu changer le repère (c’est à dire la position de l’origine) pour simplifier l’équation du mouvement?

1.Vous pouvez aire un schéma pour mieux visualiser la situation. Dans quelle direction se fait le mouvement? Placez votre premier vecteur pour qu’il “suive” ce mouvement.

2.Voir la première partie du cours.

3.Distance=norme ! La distance voiture-autostoppeur est l’hypothénuse d’un certain triangle rectangle.

4.

1. Dans notre problème, le mouvement se fait suivant la route; on a donc tout intérêt à placer notre premier vecteur (disons que c’est le vecteur \(\vec{i}\)) dans cette direction, pour simplifier l’expression du vecteur position. Comme le repère cartésien est un repère orthonormé direct, les deux autres vecteurs seront orthogonaux au premier: on place \(\vec{j}\) de l’observateur vers la route. Le troisième vecteur \(\vec{k}\) n’a pas besoin d’être représenté, puisque notre problème se situe dans un plan.

 

2.Maintenant qu’on a nos deux vecteurs, on va décomposer le mouvement de la voiture en deux composantes. D’abord, selon \(\vec{i}\): la voiture se déplace à une vitesse \(v\) selon ce vecteur (d’où l’intérêt de prendre un  vecteur colinéaire au mouvement !). En \(t\) secondes, elle aura donc parcouru la distance \(vt\). Ainsi, on a \(x=vt\), et la première composante du vecteur position est donc \(vt\vec{i}\).  

 

Mais il ne faut pas oublier la composante selon \(\vec{j}\): comme le précise l’énoncé, celle-ci vaut simplement \(y=d\). Donc \(d\vec{j}\) est la deuxième composante du vecteur position.

Ainsi, on a: \(\vec{OM(t)}=vt\vec{i}+d\vec{j}\).

 

3.Mathématiquement, la distance est simplement la norme du vecteur position. Elle s’écrit: \(||\vec{OM}(t)||=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\) (dans notre cas, la coordonnée \(z\) vaut \(0\)).

Donc: \(||\vec{OM}(t)||=\sqrt{(vt)^{2}+d^{2}}\) est la distance autostoppeur-voiture.

 

Remarque: on obtenait le même résultat en utilisant le théorème de Pythagore, la distance étant l’hypothénuse du triangle formé par les axes \(x\) et \(y\). Cela vient du fait que le théorème de Pythagore n’est rien d’autre qu’un calcul de norme dans le plan.

 

On a juste à remplacer les lettres par leurs valeurs numériques pour trouver la distance à \(t_{1}\(\): \(\)v=30\) m/s, \(t_{1}=10\) s et \(d=50\) m. On trouve: \(||\vec{OM}(10)||\approx 300\) m.

 

4. Si on positionne une origine \(O’\) directement sur la route, la composante selon \(\vec{j}\) vaut \(0\). Alors, dans le nouveau repère cartésien \((O’,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), le vecteur position vaut simplement: \(\vec{O’M}=vt\vec{i}\). Cependant, comme la nouvelle origine ne correspond pas avec la position de l’autostoppeur, on ne peut pas calculer la distance entre lui et la voiture dans ce repère; le choix de l’origine est donc crucial pour résoudre un problème.

 

Remarque: dans notre cas, la distance \(d\) est tellement petite en comparaison avec les autres grandeurs qu’on aurait pu se permettre cette approximation. Lorsqu’il y a une différence dans les ordres de grandeurs, il n’est pas rare de négliger un terme pour simplifier les calculs, soit en supprimant simplement ce terme, soit en effectuant un développement limité. Vous verrez toutes ces approximations en maths et en physique plus tard dans l’année !

Exercice 2: mouvement circulaire uniforme

A la fête foraine, le petit Louis a le tournis: le manège dans lequel ses parents l’ont autorisé à entrer tourne à \(10\) tours/minute ! Pourtant, il s’est placé à une distance \(r=10\) m du centre du manège…Le schéma ci-dessous modélise la situation. A \(t=0\) s, Louis est sur l’axe \((Ox)\).

1.Quelle est l’expression, en fonction du temps, de l’angle \(\theta\) entre \(\vec{OM}\) et l’axe \((Ox)\) ?
2.Quelle est l’expression du vecteur position \(\vec{OM}\)?
3.Donner les coordonnées \(x\) et \(y\) de Louis après \(15\) s de manège.

1.A quelle vitesse tourne le point \(M\) autour de \(O\)? Convertissez d’abord les tours/min en rad/s.

2.Il faut trouver la composante selon \(\vec{i}\) (axe \((Ox)\)), puis celle selon \(\vec{j}\) (axe \((Oy)\)). Rappelez-vous du cercle trigonométrique !

3. 

1. Le point \(M\) a une vitesse de \(10\) tours/min, ce qui nous fait \(20\pi\) rad/min. En effet, on sait qu’un tour équivaut à un angle de \(2\pi\). La vitesse de \(M\) est donc de \(\frac{\pi}{3}\) rad/s.

Au bout d’\(1\) s, il y aura donc un angle de \(\frac{\pi}{3}\) entre \(\vec{OM}\) et \((Ox)\), puis \(\frac{2\pi}{3}\) après \(2\) secondes, etc. Ainsi, l’angle vaut: \(\theta=\frac{\pi}{3}t\).

 

2. Il s’agit ici de projeter \(\vec{OM}\) sur les axes \((Ox)\) et \((Oy)\): les projections seront l’objet d’une section complète plus tard dans le cours. En attendant, on va raisonner avec un cercle trigonométrique.

 

Rappelez vous: pour un angle donné, on lit sur l’axe horizontal le cosinus de cet angle. Dans notre cas, on aurait donc \(\cos(\theta)\) comme composante en \(x\). Mais il ne faut pas oublier que le cercle trigonométrique est de rayon \(1\), alors que notre manège est de rayon \(r\). Ainsi, il faut multiplier par \(r\) pour avoir la bonne valeur. La composante en \(x\) vaut donc: \(x=r\cos(\theta)\). De même, celle en \(y\) vaut \(y=r\sin(\theta)\).

 

Ainsi, le vecteur position s’écrit: \(\vec{OM}=r\cos(\theta)\vec{i}+r\sin(\theta)\vec{j}\).

 

Remarque: Il est évident que l’angle \(\theta\) évolue au cours du temps (intuitivement, mais aussi parce qu’on a déjà trouvé son expression dans la première question), on devrait donc l’écrire \(\theta (t)\). De même, \(\vec{OM}\) dépend donc aussi du temps et devrait être écrit \(\vec{OM}(t)\). Encore une fois, on cherche juste à simplifier l’écriture par un abus de language.

 

3.C’est une simple application numérique: on prend \(r=10\) m (énoncé), \(\theta=\frac{\pi}{3}t\) s (question 1) et \(t=15\) s.

 

En reprenant les expressions de \(x\) et \(y\), on trouve alors: \(x=10\cos(5\pi)=10\cos(\pi)\) (on rappelle qu’on fait un tour complet tous les \(2\pi\): la fonction cosinus est \(2\pi\)-périodique) \(=-10\)m.

De même, \(y=10\sin(\pi)=0\) m.

 

Ainsi, au bout de \(t=15\) s, Louis aura pour coordonnées \(x=-10\) m et \(y=0\) m.

Une chose vous a peut-être sauté aux yeux avec ces deux exercices: les mouvements rectilignes sont très faciles à décrire en coordonnées cartésiennes, mais les mouvements circulaires ont des expressions plus complexes. On va introduire un autre système de coordonnées, qui nous permettra de les exprimer autrement.