Ce qu’il faut savoir faire pour le contrôle continu:
Etudier les limites suivantes:
\( \begin{array}{lcl}On met de même en facteur le terme dominant au numérateur et au dénominateur: $$\frac{x\ln x+7}{x^2+4}=\frac{x\ln x\left(1+\frac{7}{x\ln x}\right)}{x^2\left(1+\frac 4{x^2}\right)}=
\frac{\ln x}{x}\times\frac{1+\frac{7}{x\ln x}}{1+\frac 4{x^2}}$$
Or, on sait que $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}x=0$. On en déduit que $$\lim_{x\to+\infty}\frac{x\ln x+7}{x^2+4}=0$$
On va majorer et conclure par le théorème des gendarmes: pour $x>0$, $$\left|\frac{4\sin^2 x+3\cos(5x)}{x}\right|\leq \frac{4\sin^2 x+3|\cos(5x)|}x\leq \frac 7{x}$$
Par majoration, la limite recherchée est $0$.
Etudier les limites suivantes:
\(\begin{array}{lcl}On utilise (bien sûr!) la quantité conjuguée, qui donne: $$\sqrt{x+\sqrt x}-\sqrt x=\frac{\sqrt x}{\sqrt{x+\sqrt x}+\sqrt x}$$
En mettant en facteur $\sqrt{x}$ au numérateur et au dénominateur, on obtient: $$\sqrt{x+\sqrt x}-\sqrt x=\frac{1}{\sqrt{1+\sqrt\frac 1x}+1}$$
La forme n’est plus indéterminée, et la limite recherchée est $\frac{1}{2}$.
Soit $f$ la fonction réelle à valeurs réelles définie par
$f(x)=
\begin{cases}
x & \text{si $x<1$} \\
x^2 & \text{si $1<x<4$}\\
8\sqrt{x} & \text{si $x>4$}
\end{cases}$
Correction vidéo: https://www.youtube.com/watch?v=xN3Z9gW5JEs&ab_channel=Exo7Math
Dire si les fonctions suivantes sont prolongeables par continuité à $\mathbb{R}$ tout entier:
Etudier d’abord la continuité de la fonction: elle est déjà continue presque partout (par comparaison avec des fonctions usuelles), mais il y a toujours un point qui pose problème. Pour ce point là, étudier la continuité “à la main” en utilisant la définition, c’est-à-dire en comparant les limites en ce point vers la droite et vers la gauche. Si elles sont identiques, la fonction est prolongeables par continuité, et son prolongement en ce point vaut la limite trouvée.
Correction vidéo des trois premières fonctions: https://www.youtube.com/watch?v=C7uoURImunQ&ab_channel=Exo7Math.
4. Par continuité des fonctions sinus et logarithme, $i$ est continue sur $\mathbb R\backslash\{-1\}$. Par ailleurs, en posant $u=x+1$, on a: $$\lim_{x\to -1}i(x)=\lim_{u\to 0}\sin(u)|\ln(u)|=\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}\times u|\ln(u)|=1\times 0=0$$ Ainsi, on peut prolonger par continuité $i$ en $-1$ en posant $i(-1)=0$.
Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de:
En appliquant la méthode du cours, on trouve les résultats suivants:
Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes: \(\begin{array}{lll}
\displaystyle\mathbf{1.}\quad\frac{1}{X^3-X}&\quad\quad\mathbf{2.}\quad \displaystyle\frac{X^2+2X +5}{X^2-3X+2}
&\quad\quad\mathbf{3.}\quad \displaystyle \frac{X^3}{(X-1)(X-2)(X-3)}
\\
\mathbf{4.}\quad \displaystyle\frac{2X^2+1}{(X^2-1)^2}&
\quad\quad\mathbf{5.}\quad\displaystyle\frac{X^3+1}{(X-1)^3}&
\quad\quad\mathbf{6.}\quad\displaystyle\frac{X^4+1}{(X+1)^2(X^2+1)}
\end{array}\)
Le dénominateur se factorise en $(X^2-1)^2=(X-1)^2(X+1)^2$. Il faut donc étudier la partie polaire relative à $+1$ et à $-1$. Commençons par étudier la partie polaire relative à $-1$. Elle s’écrit sous la forme: $$\frac{2X^2+1}{(X-1)^2(X+1)^2}=\frac{\lambda_1}{X+1}+\frac{\lambda_2}{(X+1)^2}+G(X)$$ où $G$ est une fraction rationnelle dont $-1$ n’est pas un pôle. Multipliant cette égalité par $(X+1)^2$ et faisant $X=1$, on trouve $\lambda_2=3/4$. On calcule ensuite: $$\frac{2X^2+1}{(X-1)^2(X+1)^2}-\frac{3/4}{(X+1)^2}=\frac{(5X+1)/4}{(X+1)(X-1)^2}=\frac{\lambda_1}{X+1}+G(X)$$ On multiplie cette fois par $X+1$, et on fait $X=-1$, et on trouve $\lambda_1=-1/4$. Pour étudier la partie polaire relative à $1$, on peut procéder de la même façon ou simplement remarquer que la fraction rationnelle est paire. On en déduit que: $$\frac{2X^2+1}{(X-1)^2(X+1)^2}=\frac{-1/4}{X+1}+\frac{3/4}{(X+1)^2}+\frac{1/4}{X-1}+\frac{3/4}{(X-1)^2}$$
La partie entière de cette fraction rationnelle est égale à $1$, et on a: $$\frac{X^3+1}{(X-1)^3}=1+\frac{3X^2-3X+2}{(X-1)^3}=1+\frac{a}{(X-1)^3}+\frac{b}{(X-1)^2}+\frac{c}{X-1}$$ Pour trouver $a$, on multiplie par $(X-1)^3$ et on fait $X=1$. On trouve $$a=2$$ Pour trouver $b$, on soustrait $\frac2{(X-1)^3}$, et on trouve:
\begin{eqnarray*}
\frac{3X^2-3X+2}{(X-1)^3}-\frac 2{(X-1)^3}&=&\frac{3X}{(X-1)^2}\\
&=&\frac{b}{(X-1)^2}+\frac c{X-1}.
\end{eqnarray*}
Multipliant par $(X-1)^2$ et faisant $X=1$, on trouve $$b=3$$ Finalement, on retranche encore $\frac{3}{(X-1)^2}$ de sorte que \begin{eqnarray*}
\frac{3X}{(X-1)^2}-\frac{3}{(X-1)^2}&=&\frac{3}{X-1}\\
&=&\frac{c}{X-1}.
\end{eqnarray*}
On a donc $c=3$. Finalement, la décomposition en éléments simples recherchée est: $$1+\frac{2}{(X-1)^3}+\frac{3}{(X-1)^2}+\frac{3}{X-1}$$