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Limites, continuité, divisions de polynômes, DES: fiche d'exercices

Ce qu’il faut savoir faire pour le contrôle continu:

 

    • Utiliser les diverses techniques de calcul de limites: factorisation, théorème d’encadrement (pour sin et cos), théorème de l’Hospital (pour les quotiens), quantité conjugué (pour les racines carrées)
    • Connaître les continuités des fonctions usuelles, puis compléter en déterminant “manuellement” la continuité d’une fonction en un point. Idem pour la dérivabilité.
    • Maîtriser la division euclidienne de deux polynômes.
    • Décomposer une fraction en éléments simples.

Exercice 1: calcul de limites

Etudier les limites suivantes: 

\( \begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ \frac{1}{1-x}-\frac{2}{1-x^2}\textrm{ en 1}&&\displaystyle \mathbf 2.\frac{\sqrt x-1}{x-1}\textrm{ en 1}\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \frac{x^3+x+5}{5x^3+7x^2+8}\textrm{ en }+\infty&&
\displaystyle \mathbf 4.\ \sqrt{x^2+2x}-x\textrm{ en }+\infty\\
\displaystyle \mathbf 5.\ x^5e^{-x^2}\textrm{ en }+\infty&&\displaystyle \mathbf 6.\ \frac{x+\cos x}{x+\sin x}\textrm{ en }+\infty\\
\displaystyle \mathbf 7.\ \frac{x\ln x+7}{x^2+4}\textrm{ en }+\infty&&\displaystyle \mathbf 8. \frac{4\sin^2 x+3\cos(5x)}{x}\textrm{ en }+\infty.
\end{array}\)
    1. Plusieurs fractions: mettez tout au même dénominateur.
    2. Fraction: utilisez le théorème de l’Hospital. Si on le souhaite, on peut également utiliser l’astuce suivante: $x-1=(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)$.
    3. Fraction: utilisez le théorème de l’Hospital. Comme c’est une fraction de polynômes, on peut également factoriser par le terme dominant.
    4. Racine carrée: on utilise le binôme conjugué pour retirer la racine.
    5. Puissance et exponentielle: on utilise les croissances comparées. On peut également mettre l’exponentielle au dénominateur, et utiliser le théorème de l’Hospital.
    6. Fraction: On met en facteur le terme dominant, ou on utilise le théorème de l’Hospital. Sinus et cosinus: on utilise ensuite le théorème des gendarmes.
    7. Fraction: théorème de l’Hospital ou factorisation par le terme dominant. Utilisez ensuite les croissances comparées entre $x$ et $ln(x)$.
    8. Sinus et cosinus: on utilise le théorème des gendarmes.
    1. On écrit: $$\frac1{1-x}-\frac2{1-x^2}=\frac1{1-x}\left(1-\frac{2}{1+x}\right)=\frac{x-1}{(1-x)(1+x)}=\frac{-1}{1+x}$$ On a levé l’indéterminée, et la limite recherchée vaut donc $-\frac{1}{2}$.
    2. L’astuce est de remarquer que $x-1=(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)$ pour pouvoir simplifier numérateur et dénominateur. On trouve donc $$\frac{\sqrt x-1}{x-1}=\frac1{\sqrt x+1}$$ et la limite recherchée vaut donc $\frac{1}{2}$.
    3. On met en facteur le terme dominant au numérateur ($x^3$) et au dénominateur ($5x^3$). Après simplification, on trouve: $$\frac{x^3+x+5}{5x^3+7x^2+8}=\frac{1}{5}\times \frac{1+\frac{1}{x^2}+\frac{5}{x^2}}{1+\frac{7}{5x}+\frac{8}{5x^3}}$$ et la limite rechercée est $\frac{1}{5}$. Remarque: pour les limites de fractions, utiliser la règle de l’Hospital est aussi une technique qui fonctionne très bien !
    4. On utilise la quantité conjuguée: $$\sqrt{x^2+2x}-x=\frac{x^2+2x-x^2}{\sqrt{x^2+2x}+x}=\frac{2x}{x\sqrt{1+2/x}+x}=\frac{2}{\sqrt{1+2/x}+1}$$ et la limite recherchée est égale à $\frac{2}{2}$=1.
    5. On utilise le changement de variables $u=x^2$. Il vient: $$\lim_{x\to+\infty}x^5e^{-x^2}=\lim_{u\to+\infty}u^{5/2}e^{-u}$$ Par comparaison de la fonction exponentielle et des fonctions puissance, cette limite vaut $0$.
    6. On met en facteur le terme dominant: $$\frac{x+\cos x}{x+\sin x}=\frac{x\left(1+\frac{\cos x}x\right)}{x\left(1+\frac{\sin x}x\right)}=
      \frac{1+\frac{\cos x}x}{1+\frac{\sin x}x}$$ Mais on a $$-\frac 1x\leq \frac{\sin x}x\leq \frac 1x$$ et donc $\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}x=0$. De même, $\lim_{x\to+\infty}\frac{\cos x}x=0$. On en déduit que: $$\lim_{x\to+\infty}\frac{x+\cos x}{x+\sin x}=1$$. Remarque: Ici, il fallait donc utiliser le théorème d’encadrement (ou “théorème des gendarmes”); cette astuce fonctionne dès qu’on doit étudier des fonctions sinus ou cosinus, ou encore l’expression $(-1)^n$, car ces trois fonctions sont bornées et oscillent entre deux valeurs limites.

    7. On met de même en facteur le terme dominant au numérateur et au dénominateur: $$\frac{x\ln x+7}{x^2+4}=\frac{x\ln x\left(1+\frac{7}{x\ln x}\right)}{x^2\left(1+\frac 4{x^2}\right)}=
      \frac{\ln x}{x}\times\frac{1+\frac{7}{x\ln x}}{1+\frac 4{x^2}}$$

      Or, on sait que $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}x=0$. On en déduit que $$\lim_{x\to+\infty}\frac{x\ln x+7}{x^2+4}=0$$

    8. On va majorer et conclure par le théorème des gendarmes: pour $x>0$, $$\left|\frac{4\sin^2 x+3\cos(5x)}{x}\right|\leq \frac{4\sin^2 x+3|\cos(5x)|}x\leq \frac 7{x}$$

      Par majoration, la limite recherchée est $0$.

Exercice 2: calcul de limites, le retour

Etudier les limites suivantes:

\(\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ \frac{e^{3x}+2x+7}{e^x+e^{-x}}\textrm{ en }+\infty&&\displaystyle \mathbf 2.\
\frac{\sqrt{1+x}-\left(1+\frac x2\right)}{x^2}\textrm{ en }0\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}{\sqrt{x+1}}\textrm{ en }+\infty&&
\displaystyle \mathbf 4.\ \frac{\sqrt{2x^2+5x+9}-3}{x}\textrm{ en }0\\
\displaystyle \mathbf 5.\ \sqrt{x+\sqrt x}-\sqrt x\textrm{ en }+\infty
\end{array}\)
    1. On factorise par le terme dominant au numérateur et au dénominateur, et on trouve: $$\frac{e^{3x}+2x+7}{e^x+e^{-x}}=e^{2x}\times \frac{1+2xe^{-3x}+7e^{-3x}}{1+e^{-2x}}.$$
      Par comparaison des fonctions puissance et exponentielle, on a lim+∞xe−3x=0 et donc la fonction tend vers $+\infty$ en $+\infty$.
    2. On va multiplier par la quantité conjuguée au numérateur et au dénominateur. On trouve: $$\frac{\sqrt{1+x}-\left(1+\frac x2\right)}{x^2}=\frac{1+x-\left(1+\frac x2\right)^2}{x^2\times\left(\sqrt{1+x}+\left(1+\frac x2\right)\right)}=\frac{-1}{4\left(\sqrt{1+x}+\left(1+\frac x2\right)\right)}$$
      On en déduit que la limite recherchée vaut $-\frac{1}{8}$.
    3. On met en facteur le terme dominant et on trouve, pour $x>0$ (attention au calcul au numérateur !): $$ \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}{\sqrt{x+1}}=\frac{\sqrt{1+\sqrt{\frac 1x+\sqrt{\frac 1{x^3}}}}}{\sqrt{1+\frac 1x}}$$
      On a levé la forme indéterminée, et la limite recherchée vaut donc $1$.
    4. On a une forme indéterminée du type $\frac{0}{0}$. On la lève en multipliant par la quantitée conjuguée: $$\frac{\sqrt{2x^2+5x+9}-3}{x}=\frac{2x^2+5x+9-9}{x\left(\sqrt{2x^2+5x+9}+3\right)}=\frac{2x+5}{\sqrt{2x^2+5x+9}+3}$$
      La limite recherchée est donc $\frac{5}{6}$.

    5. On utilise (bien sûr!) la quantité conjuguée, qui donne: $$\sqrt{x+\sqrt x}-\sqrt x=\frac{\sqrt x}{\sqrt{x+\sqrt x}+\sqrt x}$$

      En mettant en facteur $\sqrt{x}$ au numérateur et au dénominateur, on obtient: $$\sqrt{x+\sqrt x}-\sqrt x=\frac{1}{\sqrt{1+\sqrt\frac 1x}+1}$$

      La forme n’est plus indéterminée, et la limite recherchée est $\frac{1}{2}$.

Exercice 3: continuité

Soit $f$ la fonction réelle à valeurs réelles définie par

$f(x)=
\begin{cases}
x & \text{si $x<1$} \\
x^2 & \text{si $1<x<4$}\\
8\sqrt{x} & \text{si $x>4$}
\end{cases}$

    1. Tracer le graphe de $f$.
    2. $f$ est-elle continue?
    3. Bonus: Donner la formule définissant $f^{-1}$
    1.  
    2. Chercher d’abord les endroits où on peut directement dire que $f$ est continue par comparaison avec des fonctions usuelles. Ensuite, utiliser la définition de la continuité vue en cours: étudier la limite en un point par la gauche, puis par la droite. Si elles sont égales, $f$ est continue en ce point.
    3. Distinguer trois intervalles pour la formule définissant $f^{-1}$.

Correction vidéo: https://www.youtube.com/watch?v=xN3Z9gW5JEs&ab_channel=Exo7Math

Exercice 4: prolongements par continuité

Dire si les fonctions suivantes sont prolongeables par continuité à $\mathbb{R}$ tout entier:

    1. $f(x)=\sin(x)\sin(1/x)$ si $x\neq 0$
    2. $g(x)=\frac{1}{x}\ln{\frac{e^x+e^{-x}}{2}}$
    3. $h(x)=\frac{1}{1-x}-\frac{2}{1-x^2}$ si $x\neq -1$ et $x \neq 1$
    4. $i(x)=\sin(x+1)\ln|1+x|$ si $x\neq -1$

Etudier d’abord la continuité de la fonction: elle est déjà continue presque partout (par comparaison avec des fonctions usuelles), mais il y a toujours un point qui pose problème. Pour ce point là, étudier la continuité “à la main” en utilisant la définition, c’est-à-dire en comparant les limites en ce point vers la droite et vers la gauche. Si elles sont identiques, la fonction est prolongeables par continuité, et son prolongement en ce point vaut la limite trouvée. 

Correction vidéo des trois premières fonctions: https://www.youtube.com/watch?v=C7uoURImunQ&ab_channel=Exo7Math.

4. Par continuité des fonctions sinus et logarithme, $i$ est continue sur $\mathbb R\backslash\{-1\}$. Par ailleurs, en posant $u=x+1$, on a: $$\lim_{x\to -1}i(x)=\lim_{u\to 0}\sin(u)|\ln(u)|=\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}\times u|\ln(u)|=1\times 0=0$$ Ainsi, on peut prolonger par continuité $i$ en $-1$ en posant $i(-1)=0$.

Exercice 5: division de polynômes

Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de: 

    1. $X^4+5X^3+12X^2+19X-7$ par $X^2+3X-1$
    2. $X^4-4X^3-9X^2+27X+38$ par $X^2-X-7$
    3. $X^5-X^2+2$ par $X^2+1$

En appliquant la méthode du cours, on trouve les résultats suivants: 

    1. Le quotient est $X^2+2X+7$ et le reste est nul.
    2. Le quotient est $X^2-3X-5$, le reste est $X+3$.
    3. Le quotient est $X^3-X-1$, le reste est $X+3$.

Exercice 6: décomposition en éléments simples

Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes: \(\begin{array}{lll}
\displaystyle\mathbf{1.}\quad\frac{1}{X^3-X}&\quad\quad\mathbf{2.}\quad \displaystyle\frac{X^2+2X +5}{X^2-3X+2}
&\quad\quad\mathbf{3.}\quad \displaystyle \frac{X^3}{(X-1)(X-2)(X-3)}
\\
\mathbf{4.}\quad \displaystyle\frac{2X^2+1}{(X^2-1)^2}&
\quad\quad\mathbf{5.}\quad\displaystyle\frac{X^3+1}{(X-1)^3}&
\quad\quad\mathbf{6.}\quad\displaystyle\frac{X^4+1}{(X+1)^2(X^2+1)}
\end{array}\)

    1. La partie entière est nulle, et le dénominateur se factorise en $X(X-1)(X+1)$. Multipliant par $X$ et faisant $X=0$, et ainsi de suite… On trouve finalement: $$\frac{1}{X^3-X}=\frac{-1}{X}+\frac{1/2}{X-1}+\frac{1/2}{X+1}$$
    2. Il y a cette fois une partie entière, car le numérateur et le dénominateur ont même degré. Cette partie entière obtenue en faisant la division euclidenne vaut 1, et on a: $$\frac{{X^2 + 2X + 5}}{{X^2 – 3X + 2}}=1+\frac{5X+3}{X^2-3X+2}$$ Le dénominateur se factorise en $(X-1)(X-2)$ et on trouve finalement, utilisant les techniques décrites dans la question précédente: $$\frac{X^2+2X +5}{X^2-3X+2}=1-\frac{8}{X-1}+\frac{13}{X-2}$$
    3. En appliquant exactement la même méthode, on trouve que la décomposition en éléments simples est: $$1+\frac{1}{2(X-1)}-\frac{8}{X-2}+\frac{27}{2(X-3)}$$

    4. Le dénominateur se factorise en $(X^2-1)^2=(X-1)^2(X+1)^2$. Il faut donc étudier la partie polaire relative à $+1$ et à $-1$. Commençons par étudier la partie polaire relative à $-1$. Elle s’écrit sous la forme: $$\frac{2X^2+1}{(X-1)^2(X+1)^2}=\frac{\lambda_1}{X+1}+\frac{\lambda_2}{(X+1)^2}+G(X)$$ où $G$ est une fraction rationnelle dont $-1$ n’est pas un pôle. Multipliant cette égalité par $(X+1)^2$ et faisant $X=1$, on trouve $\lambda_2=3/4$. On calcule ensuite: $$\frac{2X^2+1}{(X-1)^2(X+1)^2}-\frac{3/4}{(X+1)^2}=\frac{(5X+1)/4}{(X+1)(X-1)^2}=\frac{\lambda_1}{X+1}+G(X)$$ On multiplie cette fois par $X+1$, et on fait $X=-1$, et on trouve $\lambda_1=-1/4$. Pour étudier la partie polaire relative à $1$, on peut procéder de la même façon ou simplement remarquer que la fraction rationnelle est paire. On en déduit que: $$\frac{2X^2+1}{(X-1)^2(X+1)^2}=\frac{-1/4}{X+1}+\frac{3/4}{(X+1)^2}+\frac{1/4}{X-1}+\frac{3/4}{(X-1)^2}$$

    5. La partie entière de cette fraction rationnelle est égale à $1$, et on a: $$\frac{X^3+1}{(X-1)^3}=1+\frac{3X^2-3X+2}{(X-1)^3}=1+\frac{a}{(X-1)^3}+\frac{b}{(X-1)^2}+\frac{c}{X-1}$$ Pour trouver $a$, on multiplie par $(X-1)^3$ et on fait $X=1$. On trouve $$a=2$$ Pour trouver $b$, on soustrait $\frac2{(X-1)^3}$, et on trouve:

      \begin{eqnarray*}
      \frac{3X^2-3X+2}{(X-1)^3}-\frac 2{(X-1)^3}&=&\frac{3X}{(X-1)^2}\\
      &=&\frac{b}{(X-1)^2}+\frac c{X-1}.
      \end{eqnarray*}

      Multipliant par $(X-1)^2$ et faisant $X=1$, on trouve $$b=3$$ Finalement, on retranche encore $\frac{3}{(X-1)^2}$ de sorte que \begin{eqnarray*}
      \frac{3X}{(X-1)^2}-\frac{3}{(X-1)^2}&=&\frac{3}{X-1}\\
      &=&\frac{c}{X-1}.
      \end{eqnarray*}

      On a donc $c=3$. Finalement, la décomposition en éléments simples recherchée est: $$1+\frac{2}{(X-1)^3}+\frac{3}{(X-1)^2}+\frac{3}{X-1}$$

    6. Les pôles sont $-1$ (double), $i$ et $-i$. La fraction rationnelle étant à coefficients réels, les parties polaires sont conjuguées. On a donc: $$\frac{X^4+1}{(X+1)^2(X^2+1)}=1+\frac{a}{(X+1)^2}+\frac{b}{X+1}+\frac{c}{X-i}+\frac{\bar c}{X+i}$$ Multipliant par $X-i$ et faisant $X=i$, on trouve: $$c=\frac{i^4+1}{(i+i)(i+1)^2}=-\frac12$$De même, on a $$a=\frac{1+1}{1+1}=1$$ En retranchant $\frac1{(X+1)^2}$, on trouve: $$\frac{X^4-X^2}{(X+1)^2(X^2+1)}=\frac{X^2(X-1)}{(X+1)(X^2+1)}=1+\frac{b}{X+1}+\frac c{X-i}+\frac{\bar c}{X+i}$$ Multipliant par $X+1$ et faisant $X=-1$, on trouve $$b=-1$$
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Vidéo: Prolonger une fonction par continuité (à venir dans la journée)