Géométrie Euclidienne : fiche d'exercices

 

Ce qu’il faut savoir faire pour le contrôle continu: $$ $$

 

    • Modéliser une droite et un plan à l’aide de leurs équations cartésiennes ou de leurs vecteurs directeurs.
    • Comprendre le lien entre les objets mathématiques et les équations qui les définissent : par exemple, exprimer la propriété “deux droites sont parallèles” en terme d’équations.
    • Résoudre des systèmes linéaires simples

Exercice 1 : Equations cartésiennes

Donner une équation cartésienne de droite $D$ passant par $A$ et $B$ : $$ $$

    1. $A=(1 ; 1)$ et $B=(-2 ; 3)$
    2. $A=(2 ; 3)$ et $B=(4 ; 7)$
    3. $A=(f ; 0)$ et $B=(0 ; d)$

De manière générale, l’équation cartésienne d’une droite s’écrit : $ax+by+c=0$. Il suffit donc de trouver les coefficients $a$, $b$ et $c$ pour obtenir l’équation cartésienne. Or, d’après le cours, on sait qu’un vecteur directeur de la droite a pour coordonnées $\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$.

 

Notre droite passe par $A$ et par $B$ : relier les points $A$ et $B$ donne donc un vecteur qui est dans la droite $D$ ; autrement dit, $\vec{AB}$ est un vecteur directeur ! Calculez $\vec{AB}$, identifiez $a$ et $b$ puis remplacez les dans l’équation : $ax+by+c=0$ pour trouver $c$.

    1. On a : $\vec{AB}=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$, donc $-b=-3$ et $a=2$. En remplaçant dans l’équation cartésienne d’une droite, on a : $$2x-3y+c=0$$ Il ne nous reste plus qu’à trouver $c$. On sait que $A=(1 ; 1)$ appartient à $D$ et vérifie donc son équation. Autrement dit, en prenant $x=1$ et $y=1$, l’équation devient : $$2+3+c=0$$ donc $c=-5$. Finalement, l’équation cartésienne de $D$ est : $$2x+3y-5=0$$ $$ $$
    2. Cette fois, $-b=2$ et $a=4$. En remplaçant dans l’équation cartésienne d’une droite, on trouve $c=-2$. L’équation cartésienne de $D$ est donc : $$4x-2y-2=0$$ $$ $$
    3. Les coefficients sont cette fois des paramètres, mais la méthode reste la même ! On a : $\vec{AB}=\begin{pmatrix}-f\\d\end{pmatrix}$, donc $-b=-f$ et $a=d$. L’équation cartésienne s’écrit alors : $$dx+fy+c=0$$ On sait que $A=(f ; 0)$ appartient à la droite, et vérifie donc cette équation. Autrement dit : $$df+0+c=0$$ Donc $c=-df$. Finalement : $$dx+fy-df=0$$ est l’équation cartésienne de $D$.

Exercice 2 : Elements d'une droite

 Déterminer un point $A$ et un vecteur $\overrightarrow{u}$ de la droite $D$ d’équation cartésienne : $$4x-4y+13=0$$.

On doit cette fois effectuer le travail inverse que dans l’exercice 1 : trouver un point et un vecteur directeur à partir d’une droite.

 

 

D’après le cours, on sait que $\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite d’équation cartésienne $ax+by+c=0$ ; il ne reste donc plus qu’à trouver un point de la droite !

 

 

Un point appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation de la courbe. Si l’on donne à $x$ une valeur, n’importe laquelle (on prendra en général $x=0$ pour faciliter les calculs), il suffit de remplacer $x$ dans l’équation de la droite pour trouver la valeur de $y$ associée qui vérifie l’équation ; le point $(x ; y)$ appartient alors à la droite $D$.

On a ici $a=4$ et $b=-4$ ; on sait que $\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur, donc $\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur. On se place maintenant en $x=0$ pour trouver le $y$ qui correspond, c’est-à-dire celui qui permet que $\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}$ soit dans la droite $D$. Il doit donc pour cela vérifier l’équation de $D$ en $x=0$ : $$0-4y+13=0$$ Donc $y=\frac{13}{4}$. Ainsi, $\begin{pmatrix}0\\\frac{13}{4}\end{pmatrix}$ est un point de $D$.

Exercice 3 : Droites parallèles ?

On considère les droites $D$ et $T$ d’équations : 

 

    • $D : 2x-10y+4=0$
    • $T : -x+5y+12=0$ 

Montrer que $D$ et $T$ sont parallèles.

 

Si deux droites sont parallèles (c’est-à-dire qu’elles n’ont aucun point d’intersection), alors il n’existe aucun point qui appartient aux deux droites à la fois. Autrement dit, si on cherche un point qui vérifie les deux équations cartésiennes en même temps, on ne trouvera aucune solution ! Essayez donc de résoudre le système linéaire composé de ces deux équations, et montrez qu’il n’existe aucune solution.

Si un point vérifie le système : $$\begin{cases}2x-10y+4=0\\-x+5y+12=0\end{cases}$$ alors il appartient à $D$ et à $T$. Mais lorsqu’on résout le système, on ne trouve aucune solution. Il n’existe aucun point d’intersection aux deux droites, elles sont donc parallèles. 

Exercice 4 : Equation cartésienne d'un plan

Donner une équation cartésienne du plan $A$ :

 

    1. Passant par $A= (8 ; -2 ; 6)$, $B= (3 ; 2 ; -1)$ et $C=(-1 ; 3 ; 2)$ $$ $$
    2. Passant par $A= (6 ; -2 ; 8)$, dirigé par $(\vec{w};\vec{v})$ avec $\vec{w}= (2 ; 6 ; -2)$ et $\vec{v}= (-2 ; 4 ; 4)$

 

A venir !

A venir !

Exercice 5 : Plan vectoriel

Déterminer un point $A$ et le plan vectoriel $\vec{A}$ de $E$ : $2x-4y+z-4=0$

A venir !

A venir !

Exercice 6 : Plans parallèles

Vérifier que $\vec{A}$ et $\vec{B}$ sont parallèles :

 

 

    • $\vec{A} : 4x-8y+4z-4=0$
    • $\vec{B} : x-2y+z+14=0$

A venir !

A venir !