Nombres complexes: fiche d'exercices

Ce qu’il faut savoir faire pour le contrôle continu:

    • Switcher entre formes algébriques, exponentielles et trigonométriques
    • Linéariser des fonctions trigonométriques
    • Résoudre une équation de degré 2 à coefficients complexes

Exercice 1: forme algébrique

Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants:

    1. $z_1=(2-i)(3+8i)$
    2. $z_2=\frac{-4}{1+i\sqrt{3}}$
    3. $z_3=\frac{(3+5i)^2}{1-2i}$
    4. $z_4=(1+i)^3$
    5. $z_5=(\frac{1+i}{2-i})^2+\frac{3+6i}{3-4i}$
    1. C’est un produit: développez.
    2. C’est une fraction: multipliez le numérateur et le dénominateur par le binôme conjugué du dénominateur.
    3. C’est une fraction mais il y a aussi un produit au numérateur: combinez les deux méthodes précédentes.
    4. Développez, si besoin en utilisant le binôme de Newton.
    5. Combinez les méthodes précédentes.
    1. On développe: $$(2-i)(3+8i)=6+16i-3i+8=14+13i$$
    2. On applique le binôme conjugué: $$\frac{-4}{1+i\sqrt{3}}=-1+i\sqrt{3}$$
    3. Il faut d’abord développer le numérateur pour se ramener à une fonction simple, comme dans le cas précédent: $$(3+5i)^2=9+30i-25=-16+30i$$ On applique alors le binôme conjugué: $$z_3=\frac{-16+30i}{1-2i}=\frac{(-16+30i)(1+2i)}{1+4}=\frac{-16+30i-32i-60}{5}=\frac{-76}{5}-i\frac{2}{5}$$
    4. On développe à l’aide du binôme de Newton: $$(1+i)^3=1^3+3\times 1^2\times i +3 \times 1\times i^2+i^3=1+3i-3-i=-2+2i$$
    5. Plusieurs méthodes sont pertinentes, mais la plus rapide consiste à développer directement le premier terme: $$(\frac{1+i}{2-i})^2=\frac{2i}{3-4i}$$ On peut alors additionner les deux fractions: $$\frac{2i}{3-4i}+{3+6i}{3-4i}=\frac{3+8i}{3-4i}$$ Enfin, en appliquant le binôme conjugué: $\frac{3+8i}{3-4i}=\frac{(3+8i)(3+4i)}{25}=\frac{-23}{25}+i\frac{36}{25}$

Exercice 2: forme exponentielle

Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants:

    1. $z_1=1+i\sqrt{3}$
    2. $z_2=9i$
    3. $z_3=\frac{-i\sqrt{2}}{1+i}$
    4. $z_4=\frac{(1+i\sqrt{3})^3}{(1-i)^5}$
    5. $z_5=\sin x +i\cos s$
    1. Utilisez la définition de la forme exponentielle: on cherche d’abord le module, puis l’argument en appliquant les relations du cours.
    2. Idem.
    3. Idem, mais il faut d’abord mettre $z_4$ sous forme algébrique.
    4. Essayez de mettre le numérateur et le dénominateur sous forme exponentielle.
    5. Pensez à une identité remarquable avec les fonctions trigonométriques ! Par exemple, que vaut $cos(\frac{\pi}{2}-\theta)$?
    1. $z_1=2e^{i\frac{\pi}{3}}$
    2. $z_2=9e^{i\frac{\pi}{2}}$
    3. On écrit sous forme trigonométrique le numérateur et le dénominateur, puis on utilise les propriétés de l’exponentielle complexe. On a donc: $$-i\sqrt{2}=\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{2}}$$ $$1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$$ On conclut que: $$z_3=e^{i(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{4})}=e^{i\frac{5\pi}{4}}$$
    4. On procède de la même façon, en tirant partie du fait que la forme exponentielle se comporte très bien vis à vis des puissances. On trouve: $$z_4=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$$
    5. Il faut faire attention; on veut quelque chose de la forme $\cos\theta+i\sin\theta$ pour obtenir une forme trigonométrique. L’idée est ici d’utiliser le fait que: $$\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos x$$ $$\cos(\frac{\pi}{2}-x)=\sin x$$ Il vient: $$z_6=e^{i(\frac{\pi}{2}-x)}$$

 

Remarque: On pouvait également retrouver le résultat de la question 5 en appliquant la formule d’Euler.

Exercice 3: Valeur d'un angle, forme trigonométrique

On considère les nombres complexes suivants: $$z_1=1+i\sqrt{3}$$ $$z_2=1+i$$ $$z_3=\frac{z_1}{z_2}$$

    1. Ecrire $z_3$ sous forme algébrique.
    2. Ecrire $z_3$ sous forme trigonométrique.
    3. En déduire les valeurs exactes de $\cos \frac{\pi}{12}$ et $\sin \frac{\pi}{12}

Pour la dernière question, comparez les formes algébriques et trigonométriques.

    1. Comme d’habitude, on utilise le binôme conjugué ! On trouve: $$z_3=\frac{1+\sqrt{3}}{2}+i\frac{1+\sqrt{3}}{2}$$
    2. On met d’abord le numérateur et le dénominateur sous forme exponentielle: $$z_1=2e^{i\frac{\pi}{3}}$$ $$z_2=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$$ D’où: $$z_3=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{12}}=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{12}+i\sin \frac{\pi}{12})$$
    3. Pour que deux nombres complexes soient égaux, leurs parties réelles doivent être égales et leurs parties imaginaires doivent être égales (unicité de l’écriture). Cela nous permet d’identifier facilement, grâce aux questions précédentes: $$\cos\frac{\pi}{12}=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$$ $$\sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$$

Exercice 4: Formes algébriques, le retour

Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants: 

    1. $z_1=(2+2i)^6$
    2. $z_2=(\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i})^20$
    3. $z_3=\frac{(1+i)^2000}{(i-\sqrt{3})^1000}$

La méthode la plus facile, ici, consiste à calculer d’abord la forme exponentielle qui se comporte bien mieux vis à vis des puissances, puis à revenir à la forme algébrique.

    1. On écrit: $2+2i=2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ D’où: $z_1=2^9e^{i\frac{3\pi}{2}}=-512i$
    2. De même, on commence par calculer la forme exponentielle. On trouve: $z_2=2^10e^{i\frac{35\pi}{3}}$ Puisque $35\pi=3\times 5 \times 2\pi+5\pi$, on en déduit que: $$z_2=2^10e^{i\frac{5\pi}{3}}=512-i512\sqrt{3}$$
    3. Avec la même méthode, on a: $(1+i)^{2000}=2^{1000}e^{1500\pi}=2^{1000}$ De même, $(i-\sqrt{3})^{1000}=2^{1000}e^{i1500\frac{\pi}{6}}=2^{1000}e^{i4\frac{\pi}{3}}$ Il vient finalement: $z_3=e^{-i4\frac{\pi}{3}}=e^{i4\frac{\pi}{3}}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Exercice 5: Linéarisations

    1. Linéariser $\cos^4x$
    2. Linéariser $\sin^3x$. 
    3. En déduire les primitives de $\int \cos^4x dx$ et $ \int \sin^4x dx$.

Utilisez la méthode de linéarisation du cours: Formule d’Euler, binôme de Newton, formule d’Euler. Vous pouvez également voir un exemple dans ma vidéo !

    1. Formule d’Euler: $$\cos^4x=(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2})^4$$ On développe grâce au binôme de Newton: $$=\frac{1}{16}(e^{i4x}+4e^{i2x}+6+4e^{-i2x}+e^{-i4x})$$ On repasse enfin à la forme trigonométrique en réappliquant Euler: $$=\frac{\cos(4x)+4\cos(2x)+3}{8}$$
    2. Par la même méthode, on trouve: $$\sin^3x=-\frac{\sin(3x)+3\sin(x)}{4}
    3. On en déduit alors facilement les primitives demandées. En effet, en linéarisant, on a écrit ces deux fonctions comme des sommes de fonctions très simples, dont on connaît les primitives. $$\int \cos^4 x dx=\int (\frac{\cos(4x)+4\cos(2x)+3}{8}) dx=\frac{\sin(4x)/4+2\sin(2x)+3x}{8}$$ De même: $$\int \sin^3 x dx= \int (-\frac{\sin(3x)+3\sin(x)}{4})dx= -\frac{-\cos(3x)/3-3\cos(x)}{4}$$

 

Remarque 1: Ces primitives sont bien sûr définies à une constante près.

Remarque 2: On remarque que les cosinus ou sinus à une puissance paire se linéarisent toujours en une somme de cosinus. Cela vient du fait que le cosinus est justement une fonction paire !