Cinématique: fiche d'exercices

Ce qu’il faut savoir faire pour le contrôle continu:


    • Passer facilement des coordonnées cartésiennes aux cylindriques, et réciproquement
    • Calculer la vitesse et l’accélération d’un point matériel
    • Projeter un vecteur dans une autre base
    • Reconnaître les mouvements rectilignes et circulaires par leurs équations de mouvement

Exercice 1: mouvement rectiligne uniforme

Un autostoppeur est situé à une distance \(d=5\) m d’une route. Juste en face de lui, il aperçoit une voiture qui roule à la vitesse constante \(v=30\) m/s (et qui, malheureusement pour lui, ne s’arrête pas !). Le but de l’exercice est de déterminer la distance entre la voiture et l’autostoppeur en fonction du temps.

 

1.Comment placer l’origine et les vecteurs de la base cartésienne pour résoudre facilement le problème?

2.Déterminer le vecteur position de la voiture.

3.En déduire la distance voiture-autostoppeur pour tout instant t. Combien vaudra cette distance à \(t=10\) s ?

4.Comment aurait-on pu changer le repère (c’est à dire la position de l’origine) pour simplifier l’équation du mouvement?

1.Vous pouvez aire un schéma pour mieux visualiser la situation. Dans quelle direction se fait le mouvement? Placez votre premier vecteur pour qu’il “suive” ce mouvement.

2.Voir la première partie du cours.

3.Distance=norme ! La distance voiture-autostoppeur est l’hypothénuse d’un certain triangle rectangle.

4.

1. Dans notre problème, le mouvement se fait suivant la route; on a donc tout intérêt à placer notre premier vecteur (disons que c’est le vecteur \(\vec{i}\)) dans cette direction, pour simplifier l’expression du vecteur position. Comme le repère cartésien est un repère orthonormé direct, les deux autres vecteurs seront orthogonaux au premier: on place \(\vec{j}\) de l’observateur vers la route. Le troisième vecteur \(\vec{k}\) n’a pas besoin d’être représenté, puisque notre problème se situe dans un plan.

2.Maintenant qu’on a nos deux vecteurs, on va décomposer le mouvement de la voiture en deux composantes. D’abord, selon \(\vec{i}\): la voiture se déplace à une vitesse \(v\) selon ce vecteur (d’où l’intérêt de prendre un  vecteur colinéaire au mouvement !). En \(t\) secondes, elle aura donc parcouru la distance \(vt\). Ainsi, on a \(x=vt\), et la première composante du vecteur position est donc \(vt\vec{i}\).  

Mais il ne faut pas oublier la composante selon \(\vec{j}\): comme le précise l’énoncé, celle-ci vaut simplement \(y=d\). Donc \(d\vec{j}\) est la deuxième composante du vecteur position.

Ainsi, on a: \(\vec{OM(t)}=vt\vec{i}+d\vec{j}\).

3.Mathématiquement, la distance est simplement la norme du vecteur position. Elle s’écrit: \(||\vec{OM}(t)||=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\) (dans notre cas, la coordonnée \(z\) vaut \(0\)).

Donc: \(||\vec{OM}(t)||=\sqrt{(vt)^{2}+d^{2}}\) est la distance autostoppeur-voiture.

Remarque: on obtenait le même résultat en utilisant le théorème de Pythagore, la distance étant l’hypothénuse du triangle formé par les axes \(x\) et \(y\). Cela vient du fait que le théorème de Pythagore n’est rien d’autre qu’un calcul de norme dans le plan.

On a juste à remplacer les lettres par leurs valeurs numériques pour trouver la distance à \(t_{1}\(\): \(\)v=30\) m/s, \(t_{1}=10\) s et \(d=50\) m. On trouve: \(||\vec{OM}(10)||\approx 300\) m.

4. Si on positionne une origine \(O’\) directement sur la route, la composante selon \(\vec{j}\) vaut \(0\). Alors, dans le nouveau repère cartésien \((O’,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), le vecteur position vaut simplement: \(\vec{O’M}=vt\vec{i}\). Cependant, comme la nouvelle origine ne correspond pas avec la position de l’autostoppeur, on ne peut pas calculer la distance entre lui et la voiture dans ce repère; le choix de l’origine est donc crucial pour résoudre un problème.

Remarque: dans notre cas, la distance \(d\) est tellement petite en comparaison avec les autres grandeurs qu’on aurait pu se permettre cette approximation. Lorsqu’il y a une différence dans les ordres de grandeurs, il n’est pas rare de négliger un terme pour simplifier les calculs, soit en supprimant simplement ce terme, soit en effectuant un développement limité. Vous verrez toutes ces approximations en maths et en physique plus tard dans l’année !

Exercice 2: mouvement circulaire uniforme

A la fête foraine, le petit Louis a le tournis: le manège dans lequel ses parents l’ont autorisé à entrer tourne à \(10\) tours/minute ! Pourtant, il s’est placé à une distance \(r=10\) m du centre du manège…Le schéma ci-dessous modélise la situation. A \(t=0\) s, Louis est sur l’axe \((Ox)\).

1.Quelle est l’expression, en fonction du temps, de l’angle \(\theta\) entre \(\vec{OM}\) et l’axe \((Ox)\) ?
2.Quelle est l’expression du vecteur position \(\vec{OM}\)?
3.Donner les coordonnées \(x\) et \(y\) de Louis après \(15\) s de manège.

1.A quelle vitesse tourne le point \(M\) autour de \(O\)? Convertissez d’abord les tours/min en rad/s.

2.Il faut trouver la composante selon \(\vec{i}\) (axe \((Ox)\)), puis celle selon \(\vec{j}\) (axe \((Oy)\)). Rappelez-vous du cercle trigonométrique !

3. 

1. Le point \(M\) a une vitesse de \(10\) tours/min, ce qui nous fait \(20\pi\) rad/min. En effet, on sait qu’un tour équivaut à un angle de \(2\pi\). La vitesse de \(M\) est donc de \(\frac{\pi}{3}\) rad/s.

Au bout d’\(1\) s, il y aura donc un angle de \(\frac{\pi}{3}\) entre \(\vec{OM}\) et \((Ox)\), puis \(\frac{2\pi}{3}\) après \(2\) secondes, etc. Ainsi, l’angle vaut: \(\theta=\frac{\pi}{3}t\).

 

2. Il s’agit ici de projeter \(\vec{OM}\) sur les axes \((Ox)\) et \((Oy)\): les projections seront l’objet d’une section complète plus tard dans le cours. En attendant, on va raisonner avec un cercle trigonométrique.

 

Rappelez vous: pour un angle donné, on lit sur l’axe horizontal le cosinus de cet angle. Dans notre cas, on aurait donc \(\cos(\theta)\) comme composante en \(x\). Mais il ne faut pas oublier que le cercle trigonométrique est de rayon \(1\), alors que notre manège est de rayon \(r\). Ainsi, il faut multiplier par \(r\) pour avoir la bonne valeur. La composante en \(x\) vaut donc: \(x=r\cos(\theta)\). De même, celle en \(y\) vaut \(y=r\sin(\theta)\).

 

Ainsi, le vecteur position s’écrit: \(\vec{OM}=r\cos(\theta)\vec{i}+r\sin(\theta)\vec{j}\).

 

Remarque: Il est évident que l’angle \(\theta\) évolue au cours du temps (intuitivement, mais aussi parce qu’on a déjà trouvé son expression dans la première question), on devrait donc l’écrire \(\theta (t)\). De même, \(\vec{OM}\) dépend donc aussi du temps et devrait être écrit \(\vec{OM}(t)\). Encore une fois, on cherche juste à simplifier l’écriture par un abus de language.

 

3.C’est une simple application numérique: on prend \(r=10\) m (énoncé), \(\theta=\frac{\pi}{3}t\) s (question 1) et \(t=15\) s.

 

En reprenant les expressions de \(x\) et \(y\), on trouve alors: \(x=10\cos(5\pi)=10\cos(\pi)\) (on rappelle qu’on fait un tour complet tous les \(2\pi\): la fonction cosinus est \(2\pi\)-périodique) \(=-10\)m.

De même, \(y=10\sin(\pi)=0\) m.

 

Ainsi, au bout de \(t=15\) s, Louis aura pour coordonnées \(x=-10\) m et \(y=0\) m.

Exercice 3: changement de repère

 

On considère le repère polaire et le repère cartésien ci-dessus. 

 

1. Exprimer \(r\) et \(\theta\) en fonction de \(x\) et \(y\).

 

2.Exprimer \(\vec{e_{r}}\) et \(\vec{e_{\theta}}\) en fonction de \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\).

1.Pour \(r\), pensez au théorème de Pythagore. Pour \(\theta\), que vaut \(\frac{y}{x}\) avec les coordonnées polaires?

 

2.Utilisez la même méthode de projection que dans la section précédente.

1.On peut tracer un triangle rectangle de côtés \(x\), \(y\) et \(r\). Par Pythagore, on a immédiatement: \(r^{2}=x^{2}+y^{2}\), donc \(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\).

 

D’après les relations démontrées en section précédente (et qu’on peut redémontrer très facilement), on a \(x=r\cos(\theta)\) et \(y=r\sin(\theta)\). On va essayer de simplifier le terme \(r\), qu’on ne veut pas dans notre expression. 

C’est très facile à faire, puisque \(\frac{y}{x}=\frac{r\sin(\theta)}{r\cos(\theta)}=\tan(\theta)\). Ainsi, en appliquant la réciproque: \(\theta=\arctan(\frac{y}{x})\).

 

Remarque: On aurait aussi pu faire \(\frac{x}{y}\), mais on serait alors tombé sur la fonction cotangante (qui vaut \(\frac{1}{\tan(\theta)}\)), avec laquelle on aurait été beaucoup moins à l’aise (déjà qu’avec l’arctangente…).

 

2.On projette de la même manière que précédemment, c’est même plus simple à visualiser depuis la base cartésienne: on se sert de l’angle \(\theta\) entre les vecteurs \(\vec{e_{\theta}}\) et \(\vec{j}\) (faites un schéma en dessinant les vecteurs pour vous en convaincre) et on trouve:

    • \(\vec{e_{r}}=\cos(\theta)\vec{i}+\sin(\theta)\vec{j}\)
    • \(\vec{e_{\theta}}=-\sin(\theta)\vec{i}+\cos(\theta)\vec{j}\)

Remarque: on retrouve \(\vec{e_{\theta}}\) en dérivant \(\vec{e_{r}}\): \(\frac{d}{d\theta}\cos(\theta)=-\sin(\theta)\) et \(\frac{d}{d\theta}\sin(\theta)=\cos(\theta)\). Non seulement c’est pratique pour vérifier que le résultat est juste, mais on verra que ça a également une grande importance pour la suite !

Exercice 4: pendule plan

Une bille de masse \(m\) (assimilée à un point \(M\)) est attachée à un fil de longueur \(l\); le fil fait un angle \(\theta\) avec l’axe vertical. On place l’origine \(O\) à l’autre extrémité du fil.

    1. Quelles sont les coordonnées cylindriques du point \(M\)?
    2. Donner l’accélération de \(M\) en fonction de l’angle \(\theta\).
    3. Quelles sont les valeurs de \(\theta\) possibles pour que cette accélération soit nulle? Est-ce physiquement possible?
    1.  
    2. Dérivez le vecteur position comme on l’a fait dans le cours.
    3. Pour qu’un vecteur soit nul, chacune de ses composantes \(\vec{e_{r}}\), \(\vec{e_{\theta}}\) et \(\vec{k}\) doit être nulle (remarque: c’est parce que ces vecteurs forment une base et sont donc indépendants l’un de l’autre).
    1. Par définition, le rayon \(r\) est la distance entre \(O\) et \(M\); ici, c’est la longueur du fil. On a donc \(r(t)=l\). De plus, le mouvement se passe dans un plan, la coordonnée \(z\) vaut donc \(0\). En revanche, on ne peut rien dire sur \(\theta\) pour l’instant. Les coordonnées cylindriques du point \(M\) sont donc:

\(\left\{ \begin{array}{ll} r(t)=l\\ \theta(t)=\theta(t)\\z(t)=0\\ \end{array} \right.\)

 

    1.  
    2. Le vecteur position s’écrit donc: \(\vec{OM}=l\vec{e_{r}}\). En se rappelant que \(\dot{\vec{e_{r}}}=\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}\) et \(\dot{\vec{e_{\theta}}}=-\dot{\theta}\vec{e_{r}}\), on dérive comme dans le cours pour retrouver la vitesse:

\(\vec{v}=\dot{l}\vec{e_{r}}+l\dot{\vec{e_{r}}}\)

\(=l\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}\)

En effet, \(l\) est une constante, donc sa dérivée \(\dot{l}\) vaut \(0\).

On dérive encore pour trouver l’accélération:

\(\vec{a}=\dot{l}\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}+l\ddot{\theta}\vec{e_{\theta}}+l\dot{\theta}\dot{\vec{e_{\theta}}}\)

\(=l\ddot{\theta}\vec{e_{\theta}}-l\dot{\theta}^{2}\vec{e_{r}}\)

 

Remarque: on peut aussi “recracher” la formule de l’accélération apprise par cœur, et remplacer \(r\) par \(l\) et \(z\) par \(0\). Je vous conseille néanmoins de savoir la retrouver !

 

3. Chaque composante de \(\vec{a}\) est indépendante, et doit donc valoir \(0\). On a donc: 

 

\(\left\{ \begin{array}{ll} l\ddot{\theta}=0\\ -l\dot{\theta}^{2}=0\\ \end{array} \right.\)

 

Ces équations se simplifient facilement: \(\ddot{\theta}=0\) et \(\dot{\theta}=0\). Cela veut dire que \(\theta\) doit être une constante, ce qui est impossible ! En effet, cela impliquerait que notre pendule ne bouge tout simplement pas, ce qui n’est pas réaliste d’un point de vue physique.

 

Remarque: “l’accélération est nulle” peut également se traduire par “la vitesse est constante”. On pouvait donc simplement partir de l’équation de la vitesse, et résoudre l’équation \(l\dot{\theta}=C\) où \(C\) est une constante. Cette équation ne nous donne malheureusement pas assez d’informations pour résoudre le problème, là où celle de l’accélération impose directement \(\dot{\theta}=0\).

Exercice 5: la ronde d'un poisson rouge

Un poisson rouge se promène dans son bocal. Le mouvement de son centre d’inertie \(M\) dans un repère orthonormal \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) est décrit par les équations suivantes:

 

\(\left\{ \begin{array}{ll} x(t)=R\cos(\omega t)\\ y(t)=R\sin(\omega t)\\z(t)=0\\ \end{array} \right.\)

 

 

\(\omega\) et \(R\) désignant deux constantes positives.

 

 

    1. Quelle est la forme de la trajectoire du poisson? Trouver une relation entre les coordonnées \(x\) et \(y\).
    2. En coordonnées cartésiennes:
      • Déterminer le vecteur vitesse ainsi que sa norme. Quelle caractéristique le mouvement présente-t-il ?
      • Etablir une relation simple entre les vecteurs position \(\vec{OM}\) et accélération \(\vec{a}\).
    3. Refaire ces calculs en coordonnées polaires.
    4. Las d’effectuer toujours le même trajet, le poisson décide d’ajouter une petite composante verticale \(z(t)=v_{0}t\) au mouvement précédent, où \(v_{0}\) est une constante positive. Quelle est alors la nature du mouvement du centre d’inertie du poisson?
    1. Utilisez la relation fondamentale de la trigonométrie: \(\cos^{2}(a)+\sin^{2}(a)=1\).
    2.  
    3. Utilisez les relations qu’on a déterminées précédemment pour passer des coordonnées cartésiennes aux cylindriques.
    4. Essayez de visualiser la trajectoire. Indice: regardez l’image du début du chapitre !

1.Les équations du mouvement font intervenir des fonctions trigonométriques, le mouvement est donc sûrement circulaire…pour en être sûr, on peut vérifier que le rayon est constant (c’est en effet la définition d’un cercle). La relation de passage des coordonnées cartésiennes aux cylindriques donne: 

\(r(t)^{2}=x(t)^{2}+y’t)^{2}\)

\(=R^{2}(\cos^{2}(\omega t)+\sin^{2}(\omega t))\)

\(=R^{2}\)

Le mouvement est donc bien circulaire.

 

Remarque: de manière générale, \(x^{2}+y^{2}=a^{2}\) est l’équation d’un cercle de rayon \(a\).

 

2.Le vecteur position s’écrit:

\(\vec{OM}=R\cos(\omega t)\vec{i}+R\sin(\omega t)\vec{j}\)

Le vecteur vitesse vaut donc:

\(\vec{v}=-R\omega\sin(\omega t)\vec{i}+R\omega\cos(\omega t)\vec{j}\)

Sa norme est donc:

\(\left\|\vec{v}\right\|=\sqrt{(-R\omega\sin(\omega t))^{2}+(R\omega\cos(\omega t))^{2}}\)

\(=\sqrt{(R\omega)^{2}(\sin^{2}(\omega t)+\cos^{2}(\omega t))}\)

\(=R\omega\)

Ainsi, la vitesse est constante, donc le mouvement se fait de manière uniforme; il est circulaire uniforme.

 

On dérive encore une fois pour obtenir l’accélération:

 

\(\vec{a}=-\omega^{2}R\cos(\omega t)\vec{i}-\omega{2}R\sin(\omega t)\vec{j}\)

\(=-\omega{2}(R\cos(\omega t)\vec{i}+R\sin(\omega t)\vec{j})\)

\(=-\omega^{2}\vec{OM}\)

 

3.On utilise les relations de passages pour obtenir les coordonnées polaires: dans la question 1., on a déjà trouvé que \(r^{2}(t)=R^{2}\), donc \(r(t)=R\).

De plus, on sait que

\(\theta=\arctan(\frac{y}{x})\)

\(=\arctan(\frac{R\sin(\omega t)}{R\cos(\omega t)})\)

\(=\arctan(\tan(\omega t))\)

\(=\omega t\)

 

Remarque: donc \(\omega=\dot{\theta}\) est la vitesse angulaire du poisson, c’est à dire le nombre de tours qu’il fait par minute.

 

En dérivant le vecteur position, on retrouve facilement la vitesse et l’accélération: 

 

\(\vec{OM}=R\vec{e_{r}}\)

\(\vec{v}=R\omega \vec{e_{\theta}}\)

\(\vec{a}=-R\omega^{2}\vec{e_{r}}\)

 

On vérifie bien la relation déjà trouvée: \(\vec{a}=-\omega^{2}\vec{OM}\).

 

4.Le poisson fait des cercles tout en montant progressivement: on dit que sa trajectoire est une hélicoïde. Le mouvement est hélicoïdal (et même uniforme en quelque sorte, puisque c’est la combinaison d’un mouvement circulaire uniforme et d’un mouvement rectiligne uniforme).