Calcul vectoriel et grandeurs: fiche d'exercices
Ce qu’il faut savoir faire pour le contrôle continu:
- Connaître les définitions d’une base orthonormée directe, d’un repère et d’un référentiel
- Distinguer grandeurs et unités, connaître les unités fondamentales et quelques unités dérivées
- Manipuler une équation pour retrouver une grandeur physique
- Calculer une norme, un produit scalaire et vectoriel, et utiliser leur propriétés
- Projeter un vecteur dans une autre base
Exercice 1: questions de cours
- Donner les 4 grandeurs fondamentales utilisées en mécanique.
- Donner les unités associées à ces grandeurs.
- Donner des exemples d’unités dérivées
- Que doit vérifier une équation physique?
- Définissez:
- Une base orthonormée directe
- Un repère
- Un référentiel
1.
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4.
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- 1. Les 4 grandeurs du système international sont: la longueur (L), la masse (M), le temps (T) et occasionnellement l’intensité (I).
- Base orthogonale: les trois vecteurs sont orthogonaux entre eux (leur produit scalaire est donc nul)
- Orthonormée: Les trois vecteurs sont unitaires (donc leur norme vaut 1)
- Directe: Elle respecte la “règle du tournevis” (ou règle de la main droite); \(\vec{a}\wedge \vec{b}=\vec{c}\).
Un repère est une base orthonormée à laquelle on rajoute une origine \(O\). On le note \((O,\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)).
Un référentiel est un système de coordonnées lié à une origine, auxquels on rajoute une horloge. Cette horloge servira à mesurer le temps, et donc à faire de la physique (les concepts de base et de repère étant purement géométriques).
Exercice 2: gravitation quantique
La gravitation quantique cherche à combiner dans une même théorie la relativité générale et la mécanique quantique. Elle utilise les constantes universelles suivantes:
\(G=6.67*10^{-11}\) S.I (unités du système international), la constante de gravitation
\(h=6.63*10^{-34}\) S.I, la constante de Planck
\(c=3.10^{8}\) \(m.s^{-1}\), la célérité de la lumière dans le vide
- Exprimer les dimensions de G et h en terme de grandeurs fondamentales.
- Montrer que l’on peut trouver trois coefficients uniques \(\alpha,\beta,\gamma\) tels que \(G^{\alpha}h^{\beta}c^{\gamma}\) représente une longueur.
- Evaluer l’ordre de grandeur de cette longueur appelée longueur de Planck.
1. Dans quelles formules peut-on retrouver G et h?
2. Résolvez: \([G]^{\alpha}[h]^{\beta}[c]^{\gamma}=L\) et regroupez les puissances entre elles.
3.
- Il faut trouver une équation qui relie G à des grandeurs dont on connaît déjà les dimensions. La plus connue est celle de la force de gravitation: $\vec{F_{ab}}=G\frac{m_{a}m_{b}}{d_{ab}^{2}}\vec{ab}[/latex]$ Pour trouver la dimension de G, il ne reste plus qu’à résoudre l’équation aux dimensions associée: $[F]=G\frac{[m_{a}][m_{b}]}{[d_{ab}]^{2}}$ Il vient: $M.L.T^{-2}=[G]M^{2}L^{-2}$ Ainsi: $[G]=M^{-1}L^{3}T^{-2}$ Pour la constante de Planck h, une des nombreuses équations où elle intervient a déjà été vue en physique au lycée: $E=h\nu$ où \(\nu\)désigne une fréquence. De la même manière, on obtient alors: $[h]=M.L^{2}T^{-1}$
- Il faut maintenant résoudre l’équation: $[G]^{\alpha}[h]^{\beta}[c]^{\gamma}=L$ Donc, remplaçant par les valeurs trouvées en 1. : $(M^{-1}L^{3}T^{-2})^{\alpha}(ML^{2}T^{-1})^{\beta}(L.T^{-1})^{\gamma}=L$ En utilisant les propriétés des puissances, on peut alors regrouper toutes les longueurs: $M^{-\alpha+\beta}L^{3\alpha+2\beta-\gamma}T^{-2\alpha-\beta}=L$ Les deux membres de l’égalité doivent être égaux (cf exercice 1), les coefficients en puissance doivent donc satisfaire le système linéaire suivant: $$\left\{ \begin{array}{ll} -\alpha+\beta&=&0 \\ 3\alpha+2\beta&=&1\\-2\alpha-2\beta&=&0\\ \end{array} \right.$$ En résolvant le système, on obtient alors: $$\left\{ \begin{array}{ll} \alpha&=&\frac{1}{2} \\ \beta&=&\frac{1}{2}\\\gamma&=&\frac{3}{2}\\ \end{array}\right.$$
- Grâce aux coefficients trouvés en 2), on peut alors définir la longueur de Planck: $$l_p=\sqrt{\frac{hG}{c^3}}$$Pour évaluer son ordre de grandeur, on remplace juste les quantités intervenant dans l’équation par leurs ordres de grandeurs associés: $$\sqrt{\frac{10^{-35}10^{-12}}{10^{3*8}}}=10^{-36}$$ Remarque: C’est donc une longueur astronomiquement petite ! En pratique, elle ne sert que pour décrire des échelles de distance aux premiers instants de l’Univers, ou dans le cadre de la théorie de la gravitation quantique à boucles.
Exercice 3: calcul vectoriel
On considère les vecteurs $\vec{a}=(2,-3,1)$ et $\vec{b}=(5,2,-4)$
- Calculer les longueurs de $\vec{a}$ et $\vec{b}$.
- Trouver l’angle $\theta$ entre les vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ avec deux méthodes différentes.
- Trouver un vecteur $\vec{c}$ unitaire et normal à $\vec{a}$ et à $\vec{b}$.
- Reprenez la définition de norme du cours (qui est une simple application du théorème de Pythagore).
- Le produit scalaire et le produit vectoriel font tous les deux intervenir une mesure d’angle: servez vous en !
- Pensez aux propriétés du produit vectoriel (ou éventuellement du produit scalaire si vous voulez vous casser la tête avec une méthode alternative).
- On utilise la définition de la longueur (ou norme) d’un vecteur: $$||\vec{a}||=\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}=\sqrt{14}$$ et $$||\vec{b}||=\sqrt{5^2+2^2(-4)^2}=\sqrt{45}$$
- Une des façons de déterminer $\theta$ est d’utiliser la définition du produit scalaire: $$vec{a}.\vec{b}=||\vec{a}||\vec{b}\cos(\theta)$$ Donc, par un calcul direct:$$2*5-3*2-1*4=0=||\vec{a}||||\vec{b}||\cos(\theta)$$Ainsi, $\cos(\theta)=0$ et donc $\theta=\frac{\pi}{2}$. L’autre méthode est d’utiliser la norme du produit vectoriel: $$||\vec{a}\wedge \vec{b}||=\vec{||\vec{a}||||\vec{b}||\sin(\theta)}$$ $$||(10,13,19)||=\sqrt{14}\sqrt{45}\sin(\theta)$$ $$\sin(\theta)=1$$ On retrouve donc bien $\theta=\frac{\pi}{2}$.
- Par définition, le produit vectoriel de deux vecteurs est normal aux deux vecteurs. Le vecteur $(10,13,19)$ calculé précédemment vérifie donc cette propriété. Pour qu’il soit unitaire, il suffit de le diviser par sa norme; il sera alors de norme 1. Ainsi: $$\vec{c}=\frac{(10,13,19}{||(10,13,19)||}=\frac{(10,13,19)}{\sqrt{630}}$$
Remarque 1: Le seul autre vecteur unitaire normal à $\vec{a}$ et à $\vec{b}$ est le vecteur opposé $-\vec{c}$ .
Remarque 2: Il existait une autre méthode (plus fastidieuse) pour arriver au même résultat: poser $\vec{c}=(x,y,z)$ puis déterminer $x$, $y$ et $z$ grâce aux équations $\vec{c}.\vec{a}=0$ et $\vec{c}.\vec{b}=0$. Comme quoi en maths, on peut toujours retrouver le résultat recherché !
Exercice 4: Projections - pendule simple
Le système du pendule simple est modélisé par le schéma suivant:
Les deux forces agissant sur le point matériel $M$ sont son poids $\vec{P}$ et la tension du fil $\vec{T}$. Le but de l’exercice est de donner les expressions de ces forces dans deux systèmes de coordonnées.
- Projeter $\vec{P}$ et $\vec{T}$ dans la base polaire.
- Projeter $\vec{P}$ et $\vec{T}$ dans la base cartésienne.
- Bonus: A votre avis, au vu des questions précédentes quel système de coordonnées devra-t-on choisir pour déterminer les équations du mouvement?
Utilisez la méthode sur les projections expliquée en vidéo.
- Le plus important à remarquer est que l’angle entre $\vec{P}$ et $\vec{u_r}$ n’est autre que l’angle $\theta$. En projettant, on trouve alors: $$\vec{P}=mg(\cos(\theta)\vec{u_r}-\sin(\theta)\vec{u_\theta})$$ $$\vec{T}=-T\vec{u_r}$$ car $\vec{T}$ est déjà intégralement dans la direction de $\vec{u_r}$.
- De même, en notant $\vec{i}$ le vecteur unitaire de l’axe $Ox$ et $\vec{j}$ celui de l’axe $Oy$: $$\vec{P}=mg\vec{i}$$ car $\vec{P}$ est déjà intégralement dans la direction de $\vec{i}$ $$\vec{T}=-T(\cos(\theta)\vec{i}+\sin(\theta)\vec{j})$$
- On verra dans le chapitre 2 qu’il est plus simple de traiter le problème dans la base polaire. En effet, la norme $T$ de la tension est une inconnue, on la veut donc dans le moins d’équations possibles. Dans la base polaire, elle n’est que sur un axe !
Remarque: On a multiplié les projections par les normes $mg$ et $T$ car les vecteurs qu’on projette ne sont pas unitaires: on projette d’abord comme vu dans la vidéo, puis on multiplie le vecteur projeté par sa norme pour “recréer” un vecteur de la bonne longueur.