Calcul vectoriel et grandeurs: fiche d'exercices

Ce qu’il faut savoir faire pour le contrôle continu:

 

    • Connaître les définitions d’une base orthonormée directe, d’un repère et d’un référentiel
    • Distinguer grandeurs et unités, connaître les unités fondamentales et quelques unités dérivées
    • Manipuler une équation pour retrouver une grandeur physique
    • Calculer une norme, un produit scalaire et vectoriel, et utiliser leur propriétés
    • Projeter un vecteur dans une autre base

Exercice 1: questions de cours

    1. Donner les 4 grandeurs fondamentales utilisées en mécanique.
    2.  Donner les unités associées à ces grandeurs.
    3. Donner des exemples d’unités dérivées
    4. Que doit vérifier une équation physique?
    5. Définissez:
      • Une base orthonormée directe
      • Un repère
      • Un référentiel

1.

2.

3.

4.

5.

  1. 1. Les 4 grandeurs du système international sont: la longueur (L), la masse (M), le temps (T) et occasionnellement l’intensité (I).
Remarque: Il existe 3 autres grandeurs fondamentales qui ne sont pas utilisées en mécanique: la température (en thermodynamique), la quantité de matière (en chimie) et l’intensité lumineuse (en optique ondulatoire). Tout phénomène physique est une combinaison de ces 7 grandeurs.
 
2. Les unités associées sont respectivement: le mètre (m), le kilogramme (kg), la seconde (s) et l’ampère (A). Pour cette raison, on parle du système d’unités MKSA.
 
3. Toutes les autres unités sont donc formées à partir de ces unités fondamentales. On peut citer le Newton (\(1N=1kg.m.s^{-2}\)), le volume (\((1L=1m^{3}\) ou encore l’énergie (\(1J=1kg.m^{2}.s^{-2}\)).
 
Remarque: on peut retrouver ces correspondances en utilisant les formules qu’on connaît bien; par exemple, la deuxième loi de Newton (F=m.a) nous donne l’expression du Newton.
 
4. Cette question est assez générale, mais une équation en physique doit toujours être homogène ! Cela veut dire qu’à droite et à gauche de l’équation, les unités doivent être les mêmes.
 
Remarque: vous pouvez utiliser cette propriété durant vos CC pour vérifier votre calcul: si l’équation obtenue n’est pas homogène, vous avez sûrement fait une erreur de calcul !
 
 
5.Une base orthonormée directe est avant tout une famille de vecteurs \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\). Cette dernière vérifie trois propriétés:
      • Base orthogonale: les trois vecteurs sont orthogonaux entre eux (leur produit scalaire est donc nul)
      • Orthonormée: Les trois vecteurs sont unitaires (donc leur norme vaut 1)
      • Directe: Elle respecte la “règle du tournevis” (ou règle de la main droite); \(\vec{a}\wedge \vec{b}=\vec{c}\).

Un repère est une base orthonormée à laquelle on rajoute une origine \(O\). On le note \((O,\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)). 

Un référentiel est un système de coordonnées lié à une origine, auxquels on rajoute une horloge. Cette horloge servira à mesurer le temps, et donc à faire de la physique (les concepts de base et de repère étant purement géométriques).

Exercice 2: gravitation quantique

La gravitation quantique cherche à combiner dans une même théorie la relativité générale et la mécanique quantique. Elle utilise les constantes universelles suivantes:

\(G=6.67*10^{-11}\) S.I (unités du système international), la constante de gravitation

\(h=6.63*10^{-34}\) S.I, la constante de Planck

\(c=3.10^{8}\) \(m.s^{-1}\), la célérité de la lumière dans le vide

    1. Exprimer les dimensions de G et h en terme de grandeurs fondamentales.
    2. Montrer que l’on peut trouver trois coefficients uniques \(\alpha,\beta,\gamma\) tels que \(G^{\alpha}h^{\beta}c^{\gamma}\) représente une longueur.
    3. Evaluer l’ordre de grandeur de cette longueur appelée longueur de Planck.

1. Dans quelles formules peut-on retrouver G et h?

2. Résolvez: \([G]^{\alpha}[h]^{\beta}[c]^{\gamma}=L\) et regroupez les puissances entre elles.

3. 

    1. Il faut trouver une équation qui relie G à des grandeurs dont on connaît déjà les dimensions. La plus connue est celle de la force de gravitation: $\vec{F_{ab}}=G\frac{m_{a}m_{b}}{d_{ab}^{2}}\vec{ab}[/latex]$ Pour trouver la dimension de G, il ne reste plus qu’à résoudre l’équation aux dimensions associée: $[F]=G\frac{[m_{a}][m_{b}]}{[d_{ab}]^{2}}$ Il vient: $M.L.T^{-2}=[G]M^{2}L^{-2}$ Ainsi:  $[G]=M^{-1}L^{3}T^{-2}$ Pour la constante de Planck h, une des nombreuses équations où elle intervient a déjà été vue en physique au lycée: $E=h\nu$ où \(\nu\)désigne une fréquence. De la même manière, on obtient alors: $[h]=M.L^{2}T^{-1}$
    2. Il faut maintenant résoudre l’équation: $[G]^{\alpha}[h]^{\beta}[c]^{\gamma}=L$ Donc, remplaçant par les valeurs trouvées en 1. : $(M^{-1}L^{3}T^{-2})^{\alpha}(ML^{2}T^{-1})^{\beta}(L.T^{-1})^{\gamma}=L$ En utilisant les propriétés des puissances, on peut alors regrouper toutes les longueurs: $M^{-\alpha+\beta}L^{3\alpha+2\beta-\gamma}T^{-2\alpha-\beta}=L$ Les deux membres de l’égalité doivent être égaux (cf exercice 1), les coefficients en puissance doivent donc satisfaire le système linéaire suivant:  $$\left\{ \begin{array}{ll} -\alpha+\beta&=&0 \\ 3\alpha+2\beta&=&1\\-2\alpha-2\beta&=&0\\ \end{array} \right.$$ En résolvant le système, on obtient alors: $$\left\{ \begin{array}{ll} \alpha&=&\frac{1}{2} \\ \beta&=&\frac{1}{2}\\\gamma&=&\frac{3}{2}\\ \end{array}\right.$$
    3. Grâce aux coefficients trouvés en 2), on peut alors définir la longueur de Planck: $$l_p=\sqrt{\frac{hG}{c^3}}$$Pour évaluer son ordre de grandeur, on remplace juste les quantités intervenant dans l’équation par leurs ordres de grandeurs associés: $$\sqrt{\frac{10^{-35}10^{-12}}{10^{3*8}}}=10^{-36}$$ Remarque: C’est donc une longueur astronomiquement petite ! En pratique, elle ne sert que pour décrire des échelles de distance aux premiers instants de l’Univers, ou dans le cadre de la théorie de la gravitation quantique à boucles.

Exercice 3: calcul vectoriel

On considère les vecteurs $\vec{a}=(2,-3,1)$ et $\vec{b}=(5,2,-4)$

    1. Calculer les longueurs de $\vec{a}$ et $\vec{b}$.
    2. Trouver l’angle $\theta$ entre les vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ avec deux méthodes différentes.
    3. Trouver un vecteur $\vec{c}$ unitaire et normal à $\vec{a}$ et à $\vec{b}$.
    1. Reprenez la définition de norme du cours (qui est une simple application du théorème de Pythagore).
    2. Le produit scalaire et le produit vectoriel font tous les deux intervenir une mesure d’angle: servez vous en !
    3. Pensez aux propriétés du produit vectoriel (ou éventuellement du produit scalaire si vous voulez vous casser la tête avec une méthode alternative).
    1. On utilise la définition de la longueur (ou norme) d’un vecteur: $$||\vec{a}||=\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}=\sqrt{14}$$ et $$||\vec{b}||=\sqrt{5^2+2^2(-4)^2}=\sqrt{45}$$
    2. Une des façons de déterminer $\theta$ est d’utiliser la définition du produit scalaire: $$vec{a}.\vec{b}=||\vec{a}||\vec{b}\cos(\theta)$$ Donc, par un calcul direct:$$2*5-3*2-1*4=0=||\vec{a}||||\vec{b}||\cos(\theta)$$Ainsi, $\cos(\theta)=0$ et donc $\theta=\frac{\pi}{2}$. L’autre méthode est d’utiliser la norme du produit vectoriel: $$||\vec{a}\wedge \vec{b}||=\vec{||\vec{a}||||\vec{b}||\sin(\theta)}$$ $$||(10,13,19)||=\sqrt{14}\sqrt{45}\sin(\theta)$$ $$\sin(\theta)=1$$ On retrouve donc bien $\theta=\frac{\pi}{2}$.
    3. Par définition, le produit vectoriel de deux vecteurs est normal aux deux vecteurs. Le vecteur $(10,13,19)$ calculé précédemment vérifie donc cette propriété. Pour qu’il soit unitaire, il suffit de le diviser par sa norme; il sera alors de norme 1. Ainsi: $$\vec{c}=\frac{(10,13,19}{||(10,13,19)||}=\frac{(10,13,19)}{\sqrt{630}}$$

Remarque 1: Le seul autre vecteur unitaire normal à $\vec{a}$ et à $\vec{b}$ est le vecteur opposé $-\vec{c}$ .

Remarque 2: Il existait une autre méthode (plus fastidieuse) pour arriver au même résultat: poser $\vec{c}=(x,y,z)$ puis déterminer $x$, $y$ et $z$ grâce aux équations $\vec{c}.\vec{a}=0$ et $\vec{c}.\vec{b}=0$. Comme quoi en maths, on peut toujours retrouver le résultat recherché !

Exercice 4: Projections - pendule simple

Le système du pendule simple est modélisé par le schéma suivant:

 

 

Les deux forces agissant sur le point matériel $M$ sont son poids $\vec{P}$ et la tension du fil $\vec{T}$. Le but de l’exercice est de donner les expressions de ces forces dans deux systèmes de coordonnées.

      1. Projeter $\vec{P}$ et $\vec{T}$ dans la base polaire.
      2. Projeter $\vec{P}$ et $\vec{T}$ dans la base cartésienne.
      3. Bonus: A votre avis, au vu des questions précédentes quel système de coordonnées devra-t-on choisir pour déterminer les équations du mouvement? 

Utilisez la méthode sur les projections expliquée en vidéo.

    1. Le plus important à remarquer est que l’angle entre $\vec{P}$ et $\vec{u_r}$ n’est autre que l’angle $\theta$. En projettant, on trouve alors: $$\vec{P}=mg(\cos(\theta)\vec{u_r}-\sin(\theta)\vec{u_\theta})$$ $$\vec{T}=-T\vec{u_r}$$ car $\vec{T}$ est déjà intégralement dans la direction de $\vec{u_r}$.
    2. De même, en notant $\vec{i}$ le vecteur unitaire de l’axe $Ox$ et $\vec{j}$ celui de l’axe $Oy$: $$\vec{P}=mg\vec{i}$$ car $\vec{P}$ est déjà intégralement dans la direction de $\vec{i}$ $$\vec{T}=-T(\cos(\theta)\vec{i}+\sin(\theta)\vec{j})$$ 
    3. On verra dans le chapitre 2 qu’il est plus simple de traiter le problème dans la base polaire. En effet, la norme $T$ de la tension est une inconnue, on la veut donc dans le moins d’équations possibles. Dans la base polaire, elle n’est que sur un axe !

Remarque: On a multiplié les projections par les normes $mg$ et $T$ car les vecteurs qu’on projette ne sont pas unitaires: on projette d’abord comme vu dans la vidéo, puis on multiplie le vecteur projeté par sa norme pour “recréer” un vecteur de la bonne longueur.