Calcul matriciel : fiche d'exercices


Ce qu’il faut savoir faire pour le contrôle continu: $$ $$

    • Effectuer des opérations sur les matrices : somme, produit, transposée
    • Calculer l’inverse d’une matrice et savoir montrer qu’une matrice est inversible
    • Résoudre des systèmes linéaires

Exercice 1: Manipulation des matrices

Pour chacune des matrices suivantes, indiquer le type de la matrice (sa taille, la nature de ses coefficients, ses éventuelles particularités) et les coefficients ${a_21}$ et $a_{33}$ (s’ils existent).

Ensuite, échelonner bien la matrice et indiquer son rang. Est-elle inversible ? Si oui, donner son inverse.

Que vaut sa transposée ? Apporter une précision sur la nature de la matrice (symétrique…).

$A = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$

 

$B= \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

 

$C= \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ -3 & 5 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

 

$D= \begin{pmatrix} 2i & 1 & -6 \\ 0 & -3 & 6 \\ -5 & -5 & -7 \\ 4/3 & 3i & -2i \end{pmatrix}$

 

$E=\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & -2 \end{pmatrix}$

Pour bien échelonner une matrice, utilisez la méthode du pivot de Gauss vue en cours ! Le rang de la matrice est alors son nombre de pivots. D’autre part, on rappelle qu’une matrice est inversible si sa forme bien échelonnée est la matrice identité (si une matrice n’est pas carrée, on sait donc déjà qu’elle n’est pas inversible !). 

 

Ensuite, la matrice inverse se calcule en utilisant, là encore, l’algorithme du Pivot de Gauss. Concrètement, on crée un tableau avec à gauche la matrice à inverser, et à droite la matrice identité. On réalise ensuite une suite d’opérations élémentaires sur la matrice à inverser pour la ramener à l’identité. La même suite d’opérations élémentaires effectuée sur la matrice identité donne l’inverse de la matrice de départ. 

 

Exemple : inversons la matrice suivante : 

 

 

On écrit pour cela la matrice appelée matrice augmentée en “collant” à $A$ la matrice identité :

 

 

En appliquant l’algorithme de Gauss-Jordan, on obtient la matrice augmentée sous sa forme échelonnée réduite suivante:

 

 

où $B$ est alors la matrice inverse de $A$ : $AB=BA=I_3$.

    • La matrice $A$ possède $2$ lignes et $2$ colonnes, et a donc pour particularité d’être une matrice carrée. De plus, ses coefficients sont réels. Une façon plus concise d’écrire tout ça est d’indiquer l’ensemble d’appartenance de la matrice : $A\in M_2(\mathbb{R})$. On a $a_{21}=4, et $a_{33}$ n’existe pas car $A$ n’a pas de troisième ligne et de troisième colonne.

On applique ensuite l’algorithme du pivot de Gauss pour trouver la forme bien échelonnée de $A$, et on trouve la matrice identité. $A$ est donc inversible, et son rang vaut 2 ! En effet, la matrice $I_2$ possède bien deux pivots.

On réapplique maintenant la méthode du pivot sur la matrice $I_2$ pour trouver l’inverse de $A$, en utilisant les mêmes opérations que précédemment. On trouve alors : $$\begin{pmatrix} -6/45 & 7/18 \\ 2/9 & -5/18 \end{pmatrix}=A^{-1}$$ Il nous reste à calculer la transposée de $A$ : le calcul est très simple, puisqu’il suffit de changer les lignes et les colonnes de $A$. On trouve alors : $A^T=\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 7 & 2\end{pmatrix} $.

Enfin, on a :

        • $A^T\neq A$,
        • $A^T\neq -A$,
        • $A^T\neq A^{-1}$.

Donc $A$ n’est ni symétrique, ni antisymétrique, ni orthogonale.

    • On a $B\in M_2(\mathbb{R})$ ; de plus, $B$ est diagonale. Le coefficient $a_{21}$ vaut $0$, et $a_{33}$ n’existe pas car $B$ n’a que $2$ lignes et $2$ colonnes.

En échelonnant la matrice, on trouve à nouveau la matrice identité : $B$ est donc inversible et de rang $2$, car la matrice $I_2$ possède $2$ pivots. En réappliquant le pivot de Gauss à $I_2$ avec les mêmes opérations, on trouve : $$B^{-1}= \begin{pmatrix} 1/5 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix}$$ De plus, en calculant la transposée, on trouve $B^T=B$ : $B$ est donc symétrique.

    • On a maintenant $C\in M_{3,2}(\mathbb{R})$. On a $a_{21}=-3$, et $a_{33}$ n’existe pas car $C$ n’a que $2$ colonnes.

$C$ n’est pas carrée, on sait donc déjà qu’elle ne sera pas inversible car on ne pourra pas trouver la matrice identité en échelonnant bien. En effet, la forme bien échelonnée de $C$ est : $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $C$ a $2$ pivots, et est donc de rang $2$. En écrivant les lignes à la place des colonnes, on trouve : $C^T=\begin{pmatrix} 0 & -3 & 2 \\ 8 & 5 & 2 \end{pmatrix}$.

    • On a $D\in M_{43}(\mathbb{C})$, $a_{21}=0$ et $a_{33}=-7$. Sa forme bien échelonnée est : $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ donc $D$ est de rang $3$. Comme $D$ n’est pas carrée, elle n’est pas inversible. Sa matrice transposée vaut : $$D^T=\begin{pmatrix} 2i & 0 & -5 & 4 \\ 1 & -3 & -5 & 3i \\ -6 & 6 & -`7 & 2i \end{pmatrix}$$
    • On a $E\in M_3(\mathbb{R})$, $a_{21}=-1$ et $a_{33}=-2$. Sa forme échelonnée vaut la matrice identité $I_3$, donc $E$ est inversible. Le calcul de l’inverse donne alors : $$E^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & -2 & -2\end{pmatrix}$$ Et sa matrice transposée vaut : $$E^T= \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & -2 & -2\end{pmatrix}$$ Donc $E^T=E^{-1}$ : $E$ est donc orthogonale !

Exercice 2 : Opérations entre deux matrices

On considère les matrices suivantes :

 

$A=\begin{pmatrix}0&4\\-3&2\\10&1\\5&0 \end{pmatrix}$

 

$B=\begin{pmatrix} 8&2\\-9&4\end{pmatrix}$

 

$C=\begin{pmatrix}7\\2\\-1 \end{pmatrix}$

 

$D=\begin{pmatrix}-3&0&6&1\\7&7&12&-2\\2&-5&1&0 \end{pmatrix}$

 

$E=\begin{pmatrix}2&-1&1\\7&2&6\\1&2&1 \end{pmatrix}$

 

$F=\begin{pmatrix} i\end{pmatrix}$

 

Calculer, lorsque c’est possible, les matrices $AB$, $BA$, $AD$, $DA$, $ECF$, $ABB$, $A+B$, $E+F$, $E+E^T$, $(ED)^T$, $E+2I_3$;

Référez vous aux définitions d’additions et de multiplications de matrices vues en cours ! 

  • Pour deux matrices $M_1$ et $M_2$, le produit $M_1M_2$ n’est possible que si $M_1$ a autant de colonnes que $M_2$ a de lignes. Pour cette raison, les produits $BA$ et $AD$ sont impossibles ! On calcule autres produits en utilisant la définition du produit matriciel, et on trouve :

 

    • $AB=\begin{pmatrix} 0&4\\-3&2\\10&1\\5&0\end{pmatrix}$

 

    • $DA=\begin{pmatrix}65&-6\\89&54\\25&-1\end{pmatrix}$

 

    • Pour calculer $ECF$, on calcule d’abord $EC$ (attention à bien respecter cette priorité, car les matrices ne commutent pas !) On trouve : $$EC=\begin{pmatrix}11\\47\\10\end{pmatrix}$$ Une matrice de taille $1$ est un scalaire, donc on obtient finalement : $$ECF=i\begin{pmatrix}11\\47\\10\end{pmatrix}$$ 
      •  

 

    • On a : $$ED=\begin{pmatrix}-11&-13&1&4\\6&-16&72&3\\13&9&19&-3\end{pmatrix}$$ Donc, en prenant la transposée : $$(ED)^T=\begin{pmatrix}-11&6&13\\-13&-16&9\\1&72&19\\4&3&-3\end{pmatrix}$$ On aurait également pu utiliser la propriété du cours : $(AB)^T=B^T A^T$, ce qui revenait au même en temps de calcul.

 

Les additions de matrices sont bien plus simples, puisqu’il suffit d’additionner leurs composantes une à une ! Cela implique que ces deux matrices doivent être de même taille ; les sommes $A+B$ et $E+F$ sont donc impossibles. Pour les autres, on trouve : 

 

    • $E+E^T=\begin{pmatrix}4&6&2\\6&4&8\\2&8&2\end{pmatrix}$

 

    • Pour $E+2I_3)D$, on peut soit commencer par calculer $E+2I_3$ puis multiplier par $D$, soit utiliser la propriété de distributivité des matrices et calculer $ED+2I_3D$. On retrouve bien le même résultat dans les deux cas : $$(E+2I_3)$=\begin{pmatrix}-17&-13&13&6\\20&-2&96&-1\\17&-1&21&-3\end{pmatrix}$$ 

Exercice 3 : Matrices inversibles

Est ce que les matrices suivantes sont inversibles ? Si oui, donner leur inverse :

 

 

$A=\begin{pmatrix}1/2&1&1/2&8&0&-2\\1&-2&-2\end{pmatrix}$

 

 

$B=\begin{pmatrix} -3&0&0&0\\0&2i&0&0\\0&0&3+4i&0\\0&0&0&-2\end{pmatrix}$

 

 

$C=\begin{pmatrix}1&2&0\\-3&5&1\\0&2&2\\0&4&4\end{pmatrix}$

 

 

$D=\begin{pmatrix}-3&5&3\\0&1&0\\4&1&2\end{pmatrix}$

 

 

$E=\begin{pmatrix}-1&1&7&-3\\20&-3&14&3\\1&0&7&0\\6&-1&0&3\end{pmatrix}$

 

 

Pour voir si une matrice est inversible, il faut bien l’échelonner en utilisant la méthode du pivot de Gauss : si on obtient la matrice identité, alors la matrice est inversible.

Ensuite, appliquez le même algorithme avec les mêmes opérations sur la matrice identité pour trouver la matrice inverse.

On applique la méthode du pivot de Gauss pour échelonner la matrice. Si on obtient la matrice identité, la matrice est inversible et on refait les mêmes opérations sur la matrice identité pour obtenir l’inverse. On obtient :

 

    • $A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1/4&-1/2\\7/2&1/2&5/4\\-4&1/2&-2\end{pmatri2}$

 

    • B est diagonale et tous ses coefficients sont non-nuls : l’échelonnage est très rapide (on divise chaque ligne par le coefficient diagonal) et on retombe rapidement sur la matrice identité. En réappliquant ces opérations sur l’identité, on trouve alors : $$A^{-1}=\begin{pmatrix}-1/3&0&0&0\\0-i/2&0&0\\0&0&\frac{1}{3+4i}&0\\0&0&0-1/2\end{pmatrix}$$ De manière générale, toute matrice diagonale à coefficients non-nuls est inversible, et son inverse est diagonale avec les coefficients inverses.

 

    • $C$ n’est pas carrée, donc elle n’est pas inversible.

 

    • $D^{-1}=\begin{pmatrix}-23/54&5/3&1/6\\0&1&0\\-5/54&0&1/6\end{pmatrix}$

 

    • $E^{-1}=\begin{pmatrix}-7/4&0-3/4&7/20\\30&-89/3&25/3&-77/10&1/4&0&1/4&-1/20\\-4&-16&-2/3&7/10\end{pmatrix}$

 

Exercice 4 : Avec un paramètre

On considère la matrice suivante : $$A=\begin{pmatrix}m&3\\4&2\end{pmatrix}$$

où $m$ est un paramètre réel.

Déterminer en fonction de la valeur de $m$ si $A$ est inversible, et calculer $A^{-1}$ le cas échéant.

On utilise la méthode usuelle : autrement dit, échelonnez bien la matrice jusqu’à obtenir la matrice identité (si c’est possible : dans le cas contraire la matrice n’est pas inversible).

La chose qui change ici est qu’on doit à un moment diviser par un paramètre $m$ ! En fonction de la valeur de $m$, ce n’est pas forcément possible : il faudra alors distinguer les différents cas possibles.

On utilise (comme d’habitude) la méthode du pivot de Gauss : la première étape de l’algorithme est de diviser la première ligne par $m$ pour faire apparaître le pivot. Mais cela n’est possible que si $m\neq 0$ ! On peut alors déjà distinguer ces deux cas :

 

    • Si $m=0$ : $$\begin{pmatrix}0&3\\4&2\end{pmatrix}$$ En appliquant la méthode pour inverser des matrices abordée dans l’exercice précédent, on obtient alors : $$A^{-1}=\begin{pmatrix}-1/6&1/4\\1/3&0\end{pmatrix}$$ 

 

    • Si $m\neq 0$ : $$\begin{pmatrix}1&3/m\\4&2\end{pmatrix}$$ On retranche ensuite $4$ fois la première ligne à la deuxième, et on obtient : $$\begin{pmatrix}1&3/m\\0&2-12/m\end{pmatrix}$$ On divise maintenant la deuxième ligne par $2-\frac{12}{m}$ pour faire apparaître le pivot à la deuxième ligne. Mais là encore, comme à chaque fois qu’on divise par un nombre, ce n’est possible que si ce nombre est différent de $0$ ! Autrement dit, on peut diviser par $2-\frac{12}{m}$ seulement si $m\neq 6$.  On distingue donc là encore deux cas : 

 

        • Si $m=6$ : $$\begin{pmatrix}1&1/2\\0&0\end{pmatrix}$$ La matrice est déjà bien échelonnée et ce n’est pas la matrice identité : $A$ n’est donc pas inversible si $m=6$.
    •  
        • Si $m\neq 6$ : On peut maintenant diviser pour obtenir le pivot de la deuxième ligne : $$\begin{pmatrix}1&3/m\\0&1\end{pmatrix}$$ Puis, en retranchant $\frac{3}{m}L_2$ à $L_1$, on obtient bien la matrice identité. $A$ est donc inversible si $m\neq 0$ et $m\neq 6$, et, en réappliquant les mêmes opérations à la matrice identité, on obtient : $$A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{m-12}&\frac{3}{12-2m}\\ \frac{4}{12-m}&\frac{m}{2m-12}\end{pmatrix}$$

Exercice 5 : Systèmes d'équations

Résoudre les systèmes linéaires suivants :

 

    1. \begin{cases}3x+y-2=0\\z-x+4y=-2\\x+y+z=1 \end{cases}
    2. \begin{cases}2y-1+5x=4\\z+x-4y=0\end{cases}
    3. \begin{cases}3x+y=0\\x-y=1\\y-9x=6\end{cases}
    4. \begin{cases}t+5x-2y=0\\x-y+8z=2\\t=-4z+x\end{cases}

On peut résoudre ces systèmes par substitution comme on le faisait jusqu’à maintenant…on peut ! Mais l’une des utilités des matrices est qu’on peut les utiliser pour résoudre des systèmes linéaires : créez une matrice avec les différents coefficients de notre système, puis échelonnez là bien pour obtenir les solutions du système. 

    1. La matrice associée au premier système d’équations s’écrit : $$\begin{pmatrix}3&1&0&2\\-1&4&1&-2\\1&1&1&1\end{pmatrix}$$ En l’échelonnant, on obtient alors : $$\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&-\frac{5}{11}\\0&0&1&\frac{7}{11}\end{pmatrix}$$ Il existe donc une unique solution à notre système, qui est : $$\begin{cases}x=1\\y=-\frac{5}{11}\\z=\frac{7}{11}\end{cases}$$ Le rang de la matrice matrice ($3$) est en effet égal au nombre d’inconnues ($x$, $y$ et $z$) ; d’après le cours, on a bien une unique solution pour ce type de système. $$ $$
    2. En appliquant la même méthode, on trouve : $$\begin{pmatrix}1&0&\frac{1}{11}&\frac{10}{11}\\0&1&-\frac{5}{22}&\frac{5}{22}\end{pmatrix}$$  Notre matrice est équivalente à : $$\begin{cases}x+\frac{1}{11}z=\frac{10}{11}\\y-\frac{5}{22}z=\frac{5}{22}\end{cases}$$ soit : $$\begin{cases}x=\frac{10}{11}-\frac{1}{11}z\\y=\frac{5}{22}+\frac{5}{22}z\end{cases}$$ les solutions dépendent donc du paramètre $z$, qui peut prendre une infinité de valeurs possibles. Et en effet, le rang de la matrice ($2$) est inférieur au nombre d’inconnues ($x$, $y$ et $z$ : $3$) ; d’après le cours, on a bien une infinité de solutions. $$ $$
    3. En appliquant la même méthode, on trouve : $$\begin{pmatrix}1&\frac{1}{3}&0\\0&1&-\frac{3}{4}\\0&0&\frac{9}{2}\end{pmatrix}$$ Cette fois, le rang de la matrice ($3$) est supérieur au nombre d’inconnues ($x$ et $y$ : $2$). D’après le cours on a cette fois aucune solution pour notre système ! Et en effet, notre système est équivalent à : $$\begin{cases}x+\frac{1}{3}y=0\\y=-\frac{3}{4}\\0=\frac{9}{2}\end{cases}$$ La dernière ligne ($0=\frac{9}{2}$) est toujours fausse. $$ $$
    4. Cette fois, les solutions du système sont données par : $$\begin{cases}x=4+5t\\y=10+13t\\z=11+t\end{cases}$$ On a donc là encore une infinité de solutions. $$ $$
  1.  

Les systèmes linéaires peuvent admettre soit 0, soit 1, soit une infinité de solutions en fonction du rang de la matrice associée et du nombre d’inconnues. On remarque qu’on a pas nécessairement besoin de bien échelonner la matrice ! On peut très bien l’échelonner jusqu’à atteindre une forme qui nous arrange pour résoudre le système.