Ce qu’il faut savoir faire pour le contrôle continu:
Soit un point matériel de masse $m$ de vitesse $\vec{v}$ soumis à une force $\vec{F}$.
Voir le cours !
On considère un point $M$ de masse $m$, attaché à un fil inextensible de longueur $l$ qui forme un angle $\theta$ avec la verticale. On cherche à déterminer l’équation du mouvement de $M$ de plusieurs façons différentes.
Ces questions font partie d’une méthode qui est universelle (cf vidéo chapitre 2: résoudre un problème de dynamique). On définit d’abord le repère et on y trouve toutes les quantités cinématiques (1), puis on fait un bilan des forces dans ce repère (2). Ensuite, soit on applique le PFD (3.1) puis on projette (3.2), soit on utilise le TEM (4), soit le TEC (5). A vous de trouver la méthode qui correspond le mieux à votre problème !
Un esquimeau laisse glisser sans vitesse initiale un glaçon de masse $m$ depuis le haut d’un igloo hémisphérique de rayon $R_0$. Sa position sur l’igloo est reperée par l’angle $\theta$ avec la verticale. Il sera avantageux de traiter le problème dans la base polaire définie par les vecteurs unitaires $\vec{u_r}$ et $\vec{u_\theta}$. On négligera toute force de frottement.
$$ \left\{\begin{array}{ll}
\vec{u_r}=\cos\theta \vec{u_y}+\sin\theta \vec{u_x}
\\ \vec{u_{\theta}}=\cos\theta \vec{u_x}-\sin\theta\vec{u_y}
\end{array}
\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ll}
\vec{u_x}=\cos\theta\vec{u_{\theta}}+\sin\theta\vec{u_r} \\ \vec{u_y}=\cos\theta \vec{u_r}-\sin\theta\vec{u_{\theta}} \end{array}\right.$$
En écrivant les composantes en $\vec{u_r}$ et $\vec{u_{\theta}}$ séparément, on a alors : $$\left\{\begin{array}{ll}
-mg\cos\theta+N=-mR_0\dot{\theta}^2 \\ mg\sin\theta=mR_0\ddot{\theta}
\end{array}\right.$$ La première équation est celle qui nous intéresse, car elle nous donne la valeur de $N$: $N=mg\cos\theta_mR_0\dot{\theta}^2$. On a donc: $$\vec{N}=(mg\cos\theta_mR_0\dot{\theta}^2)\vec{u_r}$$
On rappelle la définition de l’énergie potentielle : $$E_p=-\int \vec{F}.d\vec{r}$$ Avec $\vec{F}=\vec{P}+\vec{N}=-mg\cos\theta\vec{u_r}+mg\sin\theta\vec{u_{\theta}+N\vec{u_r}}$. Le déplacement élémentaire en coordonnées polaires vaut, quand à lui : $$d\vec{r}=\vec{v}dt=R_0\frac{d\theta}{dt}\vec{u_{\theta}}dt=R_0d\theta\vec{u_{\theta}}$$ On a donc : $$E_p=-\int (-mg\cos\theta\vec{u_r}+mg\sin\theta\vec{u_{\theta}+N\vec{u_r}}).R_0\frac{d\theta}{dt}\vec{u_{\theta}}dt=R_0d\theta\vec{u_{\theta}}$$ $$=-\int mg\sin\theta R_0d\theta$$ $$=mgR_0\cos\theta+C$$ où $C$ est une constante d’intégration. D’après l’énoncé, $E_p(\theta=\frac{\pi}{2})=0$, donc: $$mgR_0\cos(\frac{\pi}{2})+C=0$$ Comme $\cos\frac{\pi}{2}=0$, on a ainsi $C=0$.
Le travail se calcule exactement de la même façon : la différence avec l’énergie potentielle est l’absence du signe $-$ avant l’intégrale, et le fait que celle-ci soit bornée (dans notre cas, entre $0$ et $\theta$). D’après la définition : $$W_{0\theta}=\int^{\theta}_0 \vec{F}.d\vec{r}=[-mgR_0\cos\theta]^{\theta}_0$$ $$=-mgR_0\cos\theta – (-mgR_0)$$ $$=mgR_0(1-\cos\theta)$$
Avec $E_c(\theta)=\frac{1}{2}mv^2$ ($v$ étant la vitesse à un certain angle $\theta$) et $E_c(0)=0$. En effet, on lâche le glaçon en $\theta=0$, il n’a donc pas encore commencé à bouger et sa vitesse est donc nulle. En reprenant l’expression du travail calculée en 6., on a alors : $$\frac{1}{2}mv^2=mgR_0(1-\cos\theta$$ D’où l’expression de la vitesse : $$v=\sqrt{2gR_0(1-\cos\theta)}$$
Un point matériel $M$ est attaché à l’extrémité d’un fil inextensible de longueur $l$, de masse négligeable et dont l’autre extrémité est attachée en un point fixe $O$. Le point $M$ est lâché sans vitesse initiale depuis la position $A$ telle que le fil soit horizontal. Le pendule effectue un quart d’oscillation, puis le fil se rompt alors que le pendule forme un angle $\alpha\leq\frac{\pi}{2}$ avec la verticale descendante $(Oz)$ et que le point $M$ est en $B$. On supposera que le référentiel, muni du repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ est galiléen et on note $\vec{g}$ l’accélération due à la pesanteur.
Cet exercice combine les deux systèmes les plus importants de cette année, le pendule et le projectile. Il associe également méthodes dynamiques et énergétiques, ainsi que coordonnées cartésiennes et polaires. Exotique, mais très complet ! Gardez la tête froide et utilisez soigneusement les méthodes que vous avez apprises jusqu’à maintenant, et vous en viendrez à bout.
$$\left\{\begin{array}{ll}
E_c(B)=\frac{1}{2}mv_B^2 \\E_p(B)=mg(y+l)=mgl(1-\cos\alpha)
\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ll}
E_c(A)=0 \\ E_p(A)=mg(0+l)
\end{array}\right.$$
Ainsi, d’après le TEM : $$\frac{1}{2}mv_B^2+mgl(1-\cos\alpha)=mgl$$
D’où, en simplifiant : $$v_b=\sqrt{2gl\cos\alpha}$$
$$\left\{\begin{array}{ll}
E_c(S)=\frac{1}{2}mv_S^2=\frac{1}{2}mv_B^2\sin^2\alpha \\E_p(S)=mg(h+l)
\end{array}\right.$$
En appliquant le TEM, on trouve alors : $$h=-\frac{1}{2}mv_B^2\sin^2\alpha$$ $$=-mgl\cos\alpha\sin^2\alpha$$
Un point matériel $M$ de masse $m$ se déplace sans frottement à l’intérieur d’une gouttière constituée d’un toboggan (partie allant du point $A$ au point $B$ – Voir figure) terminé par une partie circulaire de rayon $r_0$. Il est lâché au point $A$, d’une hauteur $h$, sans vitesse initiale. On note $g$ l’intensité de l’accélération de pesanteur.
On veut décrire approximativement le comportement des chariots des montagnes russes “Blue Fire” situés à Europa Park. Pour cela, on sépare le parcours en quatre parties. Pour décrire le parcours, on se place dans un référentiel lié au sol, supposé galiléen et muni du repère cartésien ($O$, $\vec{u_x}$, $\vec{u_y}$, $\vec{u_z}$), l’origine $O$ du repère étant choisie au sol. On note $O_z$ l’axe vertical orienté vers le haut et $\vec{g}=-g\vec{u_z}$ l’accélération due à la pesanteur.
Partie lancement:
Le chariot de masse $m$ démarre au sol sur un rail horizontal où il est accéléré pendant un temps $\Delta t_0$ jusqu’à atteindre une vitesse $\vec{v_0}=v_0 \vec{u_x}$.
Partie montée:
Le chariot aborde la montée à la vitesse $\vec{v_0}$ et grimpe jusqu’à une hauteur $h_0$ avant de redescendre.
Partie redescente et looping:
Le chariot redescend à la hauteur du sol avant de rentrer dans un looping modelisé par une trajectoire circulaire de rayon $R$. On repère la position du chariot par l’angle $\theta$ formé avec la direction $-\vec{u_z}$. (Le chariot est donc à $\theta=0$ au moment où il rentre dans le looping, $\theta=\pi$ au sommet et $\theta=2\pi$ à la sortie du looping.
Partie virages et inversions:
On ne décrira pas en détails cette partie, toutefois, comme cette section du parcours est assez longue, les forces de frottement ne sont plus négligeables et font perdre au chariot environ $40$% de son énergie mécanique.
A venir !
A venir !
Un point matériel $M$ de masse $m$ est assujeti à se déplacer sur un axe horizontal $x’Ox$ de base $\vec{i}$.
I-Ce point est soumis à la seule force $\vec{F}=-kx\vec{i}$ où $k$ est une constante positive et $\vec{OM}=x\vec{i}$.
II-Le point $M$ est maintenant soumis aux deux seules forces $\vec{F_1}=\alpha x\vec{i}$ et $\vec{F_2}=-\beta x^3 \vec{i}$, où $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes positives.
A venir !
A venir !