Energétique: fiche d'exercices

Ce qu’il faut savoir faire pour le contrôle continu:

- Calculer les énergies potentielles et cinétiques d’un système
- Déterminer le travail entre deux points, définir si une force est conservative
- Utiliser le TEM et le TEC, trouver l’équation du mouvement grâce à la méthode énergétique
- Déterminer des positions d’équilibre, interpréter graphiquement un puits de potentiel

Exercice 1: questions de cours

Enoncé

Soit un point matériel de masse $m$ de vitesse $\vec{v}$ soumis à une force $\vec{F}$.

1. Donnez la définition du travail de $\vec{F}$. Exprimer également les énergies potentielles, cinétiques et mécaniques du point.
2. Dans quel cas une force est-elle conservative? Les frottements sont-ils une force conservative? Bonus: montrer que toute force constante est conservative.
3. Enoncer le théorème de conservation de l’énergie mécanique.
4. Enoncer le théorème de l’énergie cinétique.
5. Quelle est la condition pour que le point soit en équilibre? Exprimer cette condition en fonction de $\vec{F}$, puis en fonction de $E_p$.

Indications

Voir le cours !

Corrigé

1. Le travail d’une force entre deux points $A$ et $B$ s’écrit: $W_{AB}=\int^B_A \vec{F}.d\vec{r}$ où $d\vec{r}=\frac{d\vec{r}}{dt}dt=\vec{v}dt$ est le vecteur déplacement élémentaire, c’est-à-dire la façon dont il va se déplacer sur une toute petite période de temps $dt$. Ses énergies potentielles et cinétiques valent respectivement: $E_p=-\int \vec{F}.d\vec{r}$ et $E_c=\frac{1}{2}mv^2$ On peut interpréter le travail comme l’énergie dépensée pour aller d’un point $A$ à un point $B$. C’est pour cette raison que son expression ressemble beaucoup à celle de l’énergie potentielle ! Attention cependant, $E_p$ est une primitive, pas une intégrale, et est donc définie à une constante près.
2. Une force est conservative si son travail ne dépend pas du chemin suivi. Les frottements ne sont alors pas une force conservative: plus le chemin parcouru est grand, plus il va y avoir de frottements et plus on dépensera d’énergie. Bonus: une force constante s’écrit $\vec{F}=F_x\vec{i}+F_y\vec{j}+F_z\vec{k}$ où $F_x$, $F_y$ et $F_z$ sont des constantes. Le déplacement élémentaire en coordonnées cartésiennes vaut $d\vec{r}=dx\vec{i}+dy\vec{j}+dz\vec{k}$ Calculez maintenant le travail entre $A$ et $B$, et montrer qu’il dépend uniquement des coordonnées de ces deux points.
3. Théorème de l’énergie mécanique (TEM): si un point matériel n’est soumis qu’à des forces conservatives, alors son énergie mécanique se conserve au cours du temps. Autrement dit, pour tous points $A$ et $B$: $E_m(A)=E_m(B)$ On peut également l’écrire: $\vec{dE_m}{dt}=0$
4. Théorème de l’énergie cinétique (TEC): pour deux points $A$ et $B$, on a: $E_c(B)-E_c(A)=W_{AB}(\vec{F})$ où $W_{AB}(\vec{F})$ désigne la somme des travaux de toutes les forces s’exerçant sur le système. Lorsque toutes les forces sont conservatives, le TEC devient le TEM. Je vous conseille d’utiliser le TEC lorsque vous avez des forces non-conservatives, et que vous ne pouvez donc pas utiliser le TEM.
5. D’après la première loi de Newton (ou principe d’inertie), on sait que: $\vec{F}=\vec{0}$ est une condition d’équilibre (ou de mouvement uniforme !). Une autre condition est que notre énergie potentielle soit un minimum ou un maximum, c’est à dire que: $\frac{dE_p}{dx}=0$ où $x$ est notre degré de liberté. Ces deux conditions sont équivalentes, et on démontre l’une à partir de l’autre grâce au fait que $E_p$ est juste l’intégrale de $\vec{F}$. Les minima de $E_p$ correspondent à des équilibres stables, et les maxima à des équilibres instables.

Exercice 2: pendule simple

Enoncé

On considère un point $M$ de masse $m$, attaché à un fil inextensible de longueur $l$ qui forme un angle $\theta$ avec la verticale. On cherche à déterminer l’équation du mouvement de $M$ de plusieurs façons différentes.

1. Quel est le repère le plus adapté pour résoudre le problème? Y écrire la vitesse et l’accélération de $M$
2. Faire un bilan des forces qui s’exercent sur $M$.
3. Méthode dynamique:
  1. Appliquer le principe fondamental de la dynamique (PFD) sur le système.
  2. Projeter l’équation vectorielle obtenue sur les axes du repère choisi.
4. Méthode énergétique: avec le TEM
  1. Expliquer pourquoi on peut appliquer le théorème de l’énergie mécanique (TEM), puis l’appliquer. Retrouver les résultats précédents.
5. Méthode énergétique: avec le TEC
  1. Exprimer le travail des forces, et appliquer le théorème de l’énergie cinétique (TEC). Retrouver les résultats précédents.
6. Bonus: résoudre cette équation pour de petits angles ($\sin\theta \simeq \theta$).

Indications

1. Pensez aux symétries du problème: si je choisis tel système de coordonnées, est ce qu’une d’entre elle restera constante? Dérivez ensuite la position pour trouver la vitesse et l’accélération.
2. Il y a autre chose que le poids, sinon notre masse $M$ serait en chute libre. de plus, les frottements sont négligeables (comme toujours tant qu’on ne vous indique pas le contraire).
3. PFD: $\vec{F}=m\vec{a}$. Prenez ensuite les expressions de $\vec{F}$ et de $\vec{a}$ trouvées dans les deux questions précédentes.
4. Les forces sont-elles conservatives? TEM: $\frac{dE_m}{dt}=0$. Calculez les énergies potentielles et cinétiques grâce aux résultats trouvés dans les questions 1. et 2.
5. TEC: $E_c(B)-E_c(A)=W_{AB}(\vec{F})$. Prenez $A=\frac{\pi}{2}$ et $B=\theta$ quelconque (oui oui, on a le droit de faire ça !).
6. Vous verrez comment résoudre cette équadiff au second semestre ! Mais vous pouvez trouver les solutions vous-mêmes: quelle fonction reste la même (en changeant de signe) lorsqu’on la dérive deux fois?

Corrigé

1. Si on se place en coordonnées polaires, la coordonnée $r$ correspond à la longueur du fil $l$, et restera constante. C’est donc le système de coordonnées le plus simple ! On a: $\vec{OM}=l\vec{u_r}$ avec les notations usuelles (cf chapitre 1: cinématique). En dérivant deux fois pour obtenir $\vec{v}$ et $\vec{a}$, on trouve: $$\vec{v}=l\dot{\theta}\vec{u_{\theta}}$$ $$\vec{a}=l\ddot{\theta}\vec{u_{\theta}}-l\dot{\theta}^2\vec{u_r}$$
2. Les forces s’exerçant sur $M$ sont son poids $\vec{P}=mg\vec{j}$ (en orientant le vecteur unitaire $\vec{j}$ vers le bas) et la tension du fil $\vec{T}=-T\vec{u_r}$. En effet, on sait juste de $\vec{T}$ qu’elle est dirigée selon $\vec{u_r}$, mais on ne connaît rien à la valeur de cette force: on met juste un nombre inconnu $T$. Il ne reste plus qu’à projeter le poids en coordonnées polaires: $\vec{P}=mg(\cos\theta \vec{u_r}-\sin\theta \vec{u_{\theta}})$ (cf chapitre 0: calcul vectoriel).
3. On applique maintenant le PFD: $$\vec{P}+\vec{T}=m\vec{a}$$ $$mg(\cos\theta \vec{u_r}-\sin\theta \vec{u_{\theta}})-T\vec{u_r}=m(l\ddot{\theta}\vec{u_{\theta}}-l\dot{\theta}^2\vec{u_r})$$ On projette maintenant sur les différents axes, c’est-à-dire qu’on écrit toutes les composantes en $\vec{u_r}$ ensemble et toutes celles en $\vec{u_{\theta}}$ ensemble. En effet, deux vecteurs sont égaux si leurs composantes sont égales entre elles. On trouve: $$\begin{cases} mg\cos\theta-T=-ml\dot{\theta}^2\\-mg\sin\theta=ml\ddot{\theta}\end{cases}$$ La première équation fait intervenir la tension, et ne nous intéresse donc pas. La seconde correspond à l’équation du mouvement.
4. Le poids et la tension sont des forces conservatives, on peut donc appliquer le TEM. Il nous faut les énergies potentielles et cinétiques de $M$. Pour trouver $E_p$, on utilise sa définition: $$E_p=-\int\vec{F}.d\vec{r}$$ Où $\vec{F}=\vec{P}+\vec{T}$. Le vecteur déplacement élémentaire vaut: $$d\vec{r}=\vec{v}\vec{dt}=l\frac{d\theta}{dt}\vec{u_{\theta}}dt=l d\theta\vec{u_{\theta}}$$ En calculant l’intégrale, on trouve alors: $$E_p=-mg\cos\theta+C$$ où $C$ est une constante d’intégration. On a le droit de choisir une origine de potentiel, n’importe laquelle, par exemple $E_p(\theta=\frac{\pi}{2})=0$; on a ainsi $C=0$. De plus, l’énergie cinétique vaut: $$E_c=\frac{1}{2}mv^2$ $=\frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2$$ Ainsi, en appliquant le TEM, on a: $$\frac{d}{dt}(-mg\cos\theta+\frac{1}{2}mv^2$ $+\frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2)=0$$ En calculant la dérivée (cf chapitre 1: cinématique), on trouve: $$g\sin(\theta)+l\ddot{\theta}=0$$ ce qui correspond à l’équation trouvée en 3.
5. On veut maintenant retrouver cette équation avec le TEC: $$E_c(B)-E_c(A)=W_{AB}(\vec{F})$$ Prenons $B=\theta$ et $A=\frac{\pi}{2}$. On a alors $E_c(\theta)=\frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2$ et $E_c(\frac{\pi}{2})=0$ (on a pas encore lancé la bille, donc il n’y a pas de vitesse). En calculant le travail avec les $\vec{P}$,$\vec{T}$ et $d\vec{r}$ précédents, on trouve: $$W=mgl\cos\theta$$ On peut maintenant appliquer le TEC: $$\frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2=mgl\cos\theta$$ En dérivant l’équation par rapport au temps, on retrouve bien l’équation précédente.

Ces questions font partie d’une méthode qui est universelle (cf vidéo chapitre 2: résoudre un problème de dynamique). On définit d’abord le repère et on y trouve toutes les quantités cinématiques (1), puis on fait un bilan des forces dans ce repère (2). Ensuite, soit on applique le PFD (3.1) puis on projette (3.2), soit on utilise le TEM (4), soit le TEC (5). A vous de trouver la méthode qui correspond le mieux à votre problème !

Exercice 3: glaçon qui glisse (Novembre 2014)

Enoncé

Un esquimeau laisse glisser sans vitesse initiale un glaçon de masse $m$ depuis le haut d’un igloo hémisphérique de rayon $R_0$. Sa position sur l’igloo est reperée par l’angle $\theta$ avec la verticale. Il sera avantageux de traiter le problème dans la base polaire définie par les vecteurs unitaires $\vec{u_r}$ et $\vec{u_\theta}$. On négligera toute force de frottement.

1. Ecrire $\vec{u_r}$ et $\vec{u_\theta}$ dans la base cartésienne. Réciproquement, donner les expressions des vecteurs de la base cartésienne dans la base polaire.
2. Exprimer la position $\vec{OM}$, la vitesse $\vec{v}$ et l’accélération $\vec{a}$ dans la base polaire.
3. Faire le bilan des forces dans la base polaire.
4. En utilisant le PFD, donner la réaction $\vec{N}$ de l’igloo sur la glace en fonction de $\theta$, $\frac{d\theta}{dt}$ et des constantes du problème.
5. Déterminer l’énergie potentielle $E_p(\theta)$ du système. On prendra $E_p(\theta=\frac{\pi}{2})=0$.
6. En déduire le travail des forces s’exercant sur le glaçon entre le sommet et la position $\theta$.
7. A l’aide du TEC, exprimer la vitesse $\vec{v}$ du glaçon en fonction de $g$, $\vec{R_0}$ et $\vec{\theta}$.
8. Déterminer $\vec{N}$ en fonction de $\theta$.
9. On note $\theta_0$ l’angle limite pour lequel le glaçon perd le contact avec l’igloo. Calculer la valeur de $\cos(\theta_0)$.

Indications

1. Pensez à revoir le chapitre de calcul vectoriel si vous avez des difficultés sur les projections !
5. On rappelle que : $E_p=-\int \vec{F}.d\vec{r}$. Que vaut $\vec{F}$? Que vaut $d\vec{r}$? Utilisez le petit raisonnement suivant: $d\vec{r}=\frac{d\vec{r}}{dt}dt=\vec{v}dt$
7. TEC: $E_c(B)-E_c(A)=W_{AB}$
8. Réutilisez les résultats précédents de $N$ et de $v$. On a trouvé deux expressions de $v$; reliez les entre elles, puis servez vous en pour remplacer le $\dot{theta}$ présent dans $N$.
9. Lorsqu’il n’y a plus de contact, que vaut la réaction $\vec{N}$?

Corrigé

1. On projette comme on a l’habitude de le faire (voir vidéo méthode : projections) et on trouve :
  $$ \left\{\begin{array}{ll}
  \vec{u_r}=\cos\theta \vec{u_y}+\sin\theta \vec{u_x}
  \\ \vec{u_{\theta}}=\cos\theta \vec{u_x}-\sin\theta\vec{u_y}
  \end{array}
  \right.$$
  $$\left\{\begin{array}{ll}
  \vec{u_x}=\cos\theta\vec{u_{\theta}}+\sin\theta\vec{u_r} \\ \vec{u_y}=\cos\theta \vec{u_r}-\sin\theta\vec{u_{\theta}} \end{array}\right.$$
2. On a déjà calculé plusieurs fois les quantités cinématiques des coordonnées polaires (voir chapitre 1 : cinématique). Ici, le rayon $r$ est une constante $R_0$, donc sa dérivée vaudra $0$ comme dans le cas du pendule. On trouve : $$\vec{OM}=R_0\vec{u_r}$$ $$\vec{v}=R_0\dot{\theta}\vec{u_{\theta}}$$ $$\vec{a}=R_0\ddot{\theta}\vec{u_{\theta}}-R_0\dot{\theta}^2\vec{u_r}$$
3. Les deux forces s’exerçant sur le glaçon sont son poids $P$ (comme toujours) et la réaction du support (sinon, ce serait comme s’il n’y avait pas d’igloo). Leurs expressions respectives sont: $$\vec{P}=-mg\vec{u_y}=-mg(\cos\theta\vec{u_r}-\sin\theta)\vec{u_{\theta}}$$ $$\vec{N}=N\vec{u_r}$$
4. On applique le PFD: $\vec{P}+\vec{N}=m\vec{a}$. En remplaçant par toutes les quantités calculées précédemment, on a : $$-mg\cos\theta\vec{u_r}+mg\sin\theta\vec{u_{\theta}}+N\vec{u_r}=m(R_0\ddot{\theta}\vec{u_{\theta}}-R_0\dot{\theta}^2\vec{u_r})$$
  En écrivant les composantes en $\vec{u_r}$ et $\vec{u_{\theta}}$ séparément, on a alors : $$\left\{\begin{array}{ll}
  -mg\cos\theta+N=-mR_0\dot{\theta}^2 \\ mg\sin\theta=mR_0\ddot{\theta}
  \end{array}\right.$$ La première équation est celle qui nous intéresse, car elle nous donne la valeur de $N$: $N=mg\cos\theta_mR_0\dot{\theta}^2$. On a donc: $$\vec{N}=(mg\cos\theta_mR_0\dot{\theta}^2)\vec{u_r}$$
5. On rappelle la définition de l’énergie potentielle : $$E_p=-\int \vec{F}.d\vec{r}$$ Avec $\vec{F}=\vec{P}+\vec{N}=-mg\cos\theta\vec{u_r}+mg\sin\theta\vec{u_{\theta}+N\vec{u_r}}$. Le déplacement élémentaire en coordonnées polaires vaut, quand à lui : $$d\vec{r}=\vec{v}dt=R_0\frac{d\theta}{dt}\vec{u_{\theta}}dt=R_0d\theta\vec{u_{\theta}}$$ On a donc : $$E_p=-\int (-mg\cos\theta\vec{u_r}+mg\sin\theta\vec{u_{\theta}+N\vec{u_r}}).R_0\frac{d\theta}{dt}\vec{u_{\theta}}dt=R_0d\theta\vec{u_{\theta}}$$ $$=-\int mg\sin\theta R_0d\theta$$ $$=mgR_0\cos\theta+C$$ où $C$ est une constante d’intégration. D’après l’énoncé, $E_p(\theta=\frac{\pi}{2})=0$, donc: $$mgR_0\cos(\frac{\pi}{2})+C=0$$ Comme $\cos\frac{\pi}{2}=0$, on a ainsi $C=0$.
6. Le travail se calcule exactement de la même façon : la différence avec l’énergie potentielle est l’absence du signe $-$ avant l’intégrale, et le fait que celle-ci soit bornée (dans notre cas, entre $0$ et $\theta$). D’après la définition : $$W_{0\theta}=\int^{\theta}_0 \vec{F}.d\vec{r}=[-mgR_0\cos\theta]^{\theta}_0$$ $$=-mgR_0\cos\theta – (-mgR_0)$$ $$=mgR_0(1-\cos\theta)$$
7. On applique le théorème de l’énergie cinétique (TEC) : $$E_c(\theta)-E_c(0)=W_{0\theta}$$
  Avec $E_c(\theta)=\frac{1}{2}mv^2$ ($v$ étant la vitesse à un certain angle $\theta$) et $E_c(0)=0$. En effet, on lâche le glaçon en $\theta=0$, il n’a donc pas encore commencé à bouger et sa vitesse est donc nulle. En reprenant l’expression du travail calculée en 6., on a alors : $$\frac{1}{2}mv^2=mgR_0(1-\cos\theta$$ D’où l’expression de la vitesse : $$v=\sqrt{2gR_0(1-\cos\theta)}$$
8. On reprend l’expression de $N$ trouvée en 4. : $N=mg\cos\theta-mR_0\dot{\theta}^2$ Pour tout avoir en fonction de $\theta$, il faut donc remplacer le terme en $\dot{\theta}$. Mais par quoi? Pour ça, on va utiliser l’expression de la vitesse (ou plutôt de sa norme) en coordonnées polaires : $v=R_0\dot\theta$ Or d’après la question 7. , on a également : $v=\sqrt{2gR_0(1-\cos\theta)}$ En reliant les expressions de la vitesse, on trouve ainsi : $R_0\dot{\theta}^2=2g(1-\cos\theta)$ En remplaçant dans l’expression de $N$, on a alors : $$N=3mg\cos\theta-2mg$$ Ainsi, la réaction du support vaut : $$\vec{N}=(3mg\cos\theta-2mg)\vec{u_r}$$
9. Lorsqu’il n’y a plus de contact, l’igloo ne peut plus exercer sa force de réaction sur le glaçon; celle-ci est donc nulle. L’angle $\theta_0$ pour lequel il y a perte de contact vrifie alors : $$3mg\cos\theta_0-2mg=0$$ Donc, en résolvant : $$\cos\theta_0=\frac{2}{3}$$ Ce n’était pas demandé, mais ça correspond environ à un angle de 48°!

Exercice 4: Pendule qui casse

Enoncé

Un point matériel $M$ est attaché à l’extrémité d’un fil inextensible de longueur $l$, de masse négligeable et dont l’autre extrémité est attachée en un point fixe $O$. Le point $M$ est lâché sans vitesse initiale depuis la position $A$ telle que le fil soit horizontal. Le pendule effectue un quart d’oscillation, puis le fil se rompt alors que le pendule forme un angle $\alpha\leq\frac{\pi}{2}$ avec la verticale descendante $(Oz)$ et que le point $M$ est en $B$. On supposera que le référentiel, muni du repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ est galiléen et on note $\vec{g}$ l’accélération due à la pesanteur.

1. Déterminer l’énergie potentielle du système $E_p(y)$. on prendra $E_p(y=-l)$=0.
2. En exprimant la conservation de l’énergie mécanique, déterminer la norme $v_b$ de la vitesse du point $M$ en $B$, en fonction de $g=||\vec{g}||$, $l$ et $\alpha$.
3. Exprimer dans la base $(\vec{i},\vec{j})$ la vitesse $\vec{v_B}$ du point $M$ en $B$.
4. Déterminer les équations cartésiennes de la trajectoire décrite par $M$ à la suite de la rupture du fil. Montrer que la trajectoire est une parabole.
5. On note $S$ le sommet de cette trajectoire parabolique. Exprimer la norme $v_S$ de la vitesse de passage en $S$.
6. En exprimant la conservation de l’énergie, déterminer la différence $h$ entre les altitudes des points $A$ et $S$, en fonction de $l$ et $\alpha$.

Indications

Cet exercice combine les deux systèmes les plus importants de cette année, le pendule et le projectile. Il associe également méthodes dynamiques et énergétiques, ainsi que coordonnées cartésiennes et polaires. Exotique, mais très complet ! Gardez la tête froide et utilisez soigneusement les méthodes que vous avez apprises jusqu’à maintenant, et vous en viendrez à bout.

1. Trouvez $\vec{F}$ et $d\vec{r}$ comme d’habitude, ou donnez directement l’expression de l’énergie potentielle liée au poids.
2. On a besoin de $v_B$ (donc du point $B$) et qu’aucune autre vitesse ne soit présente dans l’équation (donc du point $A$ car la vitesse y est nulle ). Appliquez donc le TEM entre $A$et $B$.
3. Donner $\vec{v_B}$ en coordonnées polaires (mouvement circulaire) puis projetez sur les coordonnées cartésiennes.
4. Voir vidéo méthode : résoudre un problème de dynamique. Exprimez ensuite $t$ en fonction de $x$ pour pouvoir le remplacer dans l’équation cartésienne de $y(t)$ et obtenir la courbe $y(x). Rappel : une parabole est un polynôme de degré 2 !
5. Reprenez les équations cartésiennes de la vitesse trouvées en 4. Que vaut la vitesse en $y$ lorsque la position en y est maximale?

Corrigé

1. Ici, deux méthodes fonctionnent : la première consiste à se placer en coordonnées polaires, calculer $\vec{F}$ et $d\vec{r}$ comme d’habitude, les utiliser pour trouver $E_p$ puis se replacer en coordonnées cartésiennes car on nous demande $E_p(y)$. La seconde, beaucoup plus rapide, est de se rappeler que l’énergie potentielle liée au poids vaut toujours $E_p=mgy$ (A une constante près bien sûr) ! On utilise ensuite la condition initiale donnée par l’exercice pour déterminer la constante : $E_p(y=-l)=0$, donc $-mgl+C=0$, donc $C=mgl$. L’énergie potentielle vaut donc : $$E_p=mg(y+l)$$
2. On veut appliquer le TEM entre deux points ; mais quels points? On cherche $v_B$, on a besoin de l’énergie cinétique en $B$ pour faire apparaître ce terme. Ainsi, $B$ est notre premier point. On veut le moins d’autres termes possibles dans notre expression, donc un point telle que la vitesse soit nulle en ce point serait idéal. Le point $A$ est alors celui qui convient, puisque notre masse y est lachée sans vitesse initiale. On calcule maintenant les différentes énergies en $A$ et $B$ :
  $$\left\{\begin{array}{ll}
  E_c(B)=\frac{1}{2}mv_B^2 \\E_p(B)=mg(y+l)=mgl(1-\cos\alpha)
  \end{array}\right.$$
  $$\left\{\begin{array}{ll}
  E_c(A)=0 \\ E_p(A)=mg(0+l)
  \end{array}\right.$$
  Ainsi, d’après le TEM : $$\frac{1}{2}mv_B^2+mgl(1-\cos\alpha)=mgl$$
  D’où, en simplifiant : $$v_b=\sqrt{2gl\cos\alpha}$$
  - Pour $E_p(B)$, on a utilisé le fait que $y=-l\cos\alpha$.
  - Le terme $\sqrt{2gl\cos\alpha}$ est bien défini partout, car $\alpha< \frac{\pi}{2}$ d’après l’énoncé.
3. Le mouvement est circulaire, donc la vitesse est toujours selon $\vec{u_{\theta}}$ : $\vec{v_B}=v_B\dot{\theta}\vec{u_{\theta}}$. En projetant sur les axes $\vec{i}$ et $\vec{j}$, et en prenant $\theta=\alpha$ car on est en $B$, on a alors : $$\vec{v_B}=v_b\sin\alpha\vec{i}+v_B\cos\alpha\vec{j}$$
4. C’est un exercice classique de balistique qui a déjà été traité (voir vidéo méthode : résoudre un problème de dynamique). La vitesse initiale est la vitesse $\vec{v_B}$, et la position initiale est $\vec{OB}$. En appliquant la méthode habituelle, on trouve : $$\left\{\begin{array}{ll}
  y=-\frac{1}{2}gt^2+v_B\cos(\alpha)t-l\cos\alpha \\ x=v_B\sin(\alpha)t+l\sin\alpha
  \end{array}\right.$$ Pour montrer que la trajectoire est une parabole, on exprime $t$ en fonction de $x$ grâce à la deuxième équation : $$t=\frac{x-l\sin\alpha}{v_B\sin\alpha}$$ En remplaçant dans la première équation, on voit directement que $y(x)$ est un polynôme de degré 2, et donc que la trajectoire est une parabole.
5. Lorsqu’on atteint le maximum de $y$, la dérivée vaut $0$. Ainsi, la vitesse selon $\vec{j}$ vaut $0$ lorsqu’on est en $S$, et il ne reste que la composante selon $\vec{i}$ : $v_B\sin`\alpha$. La norme de la vitesse en $S$ vaut donc : $$v_S=v_B\sin\alpha=2gl\cos\alpha\sin\alpha$$
6. On calcule les énergies en $A$ et en $S$ pour appliquer le TEM : $$\left\{\begin{array}{ll} E_c(A)=0 \\E_p(A)=mgl
  \end{array}\right.$$
  $$\left\{\begin{array}{ll}
  E_c(S)=\frac{1}{2}mv_S^2=\frac{1}{2}mv_B^2\sin^2\alpha \\E_p(S)=mg(h+l)
  \end{array}\right.$$
  En appliquant le TEM, on trouve alors : $$h=-\frac{1}{2}mv_B^2\sin^2\alpha$$ $$=-mgl\cos\alpha\sin^2\alpha$$

Exercice 5: balle dans une gouttière (Janvier 2018)

Enoncé

Un point matériel $M$ de masse $m$ se déplace sans frottement à l’intérieur d’une gouttière constituée d’un toboggan (partie allant du point $A$ au point $B$ – Voir figure) terminé par une partie circulaire de rayon $r_0$. Il est lâché au point $A$, d’une hauteur $h$, sans vitesse initiale. On note $g$ l’intensité de l’accélération de pesanteur.

1. Exprimer en fonction de $m$, $g$ et $h$ l’énergie mécanique $E_A$ du point $M$ lorsqu’il est en $A$.
2. Exprimer en fonction de $r_0$, $m$, $g$ et $\theta$ l’énergie potentielle du point $M$ lorsqu’il est à l’intérieur du cercle.
3. Déterminer en fonction de $r_0$, $h$, $g$ et $\theta$ la norme $v_M$ de la vitesse du point $M$ lorsqu’il est à l’intérieur du cercle.
4. En appliquant le PFD, exprimer la réaction du support en fonction de $m$, $r_0$, $h$, $g$ et $\theta$.
5. De quelle hauteur $h_{min}$ doit-on lâcher le point matériel sans vitesse initiale en $A$ pour qu’il arrive jusqu’au point le plus haut ($\theta=\pi$) sans quitter la gouttière?

Indications

1. L’énergie potentielle qu’on cherche à calculer est celle liée au poids : vous pouvez soit la retrouver en exprimant $\vec{P}$ et $d\vec{r}$, soit utiliser l’expression si vous vous en souvenez ! Pour l’énergie cinétique, que vaut la vitesse lorsqu’on est en $A$?
2. Passez en coordonnées polaires !
3. Utilisez le théorème de l’énergie mécanique : servez vous-en pour relier l’énergie mécanique dans le cercle à l’énergie mécanique au point $A$.
5. A quelle condition le point ne quitte-t-il pas la gouttière? Utilisez le raisonnement de l’exercice précédent.

Corrigé

Une correction vidéo est disponible ici (début de la correction à 15′ 50″).

Exercice 6: Europa Park (Janvier 2017)

Enoncé

On veut décrire approximativement le comportement des chariots des montagnes russes “Blue Fire” situés à Europa Park. Pour cela, on sépare le parcours en quatre parties. Pour décrire le parcours, on se place dans un référentiel lié au sol, supposé galiléen et muni du repère cartésien ($O$, $\vec{u_x}$, $\vec{u_y}$, $\vec{u_z}$), l’origine $O$ du repère étant choisie au sol. On note $O_z$ l’axe vertical orienté vers le haut et $\vec{g}=-g\vec{u_z}$ l’accélération due à la pesanteur.

Partie lancement:

Le chariot de masse $m$ démarre au sol sur un rail horizontal où il est accéléré pendant un temps $\Delta t_0$ jusqu’à atteindre une vitesse $\vec{v_0}=v_0 \vec{u_x}$.

1. En supposant constante l’accélération $\vec{a_0}$ du chariot, déterminer sa valeur.
2. Déterminer le travail total des forces responsables de l’accélération du chariot.

Partie montée:

Le chariot aborde la montée à la vitesse $\vec{v_0}$ et grimpe jusqu’à une hauteur $h_0$ avant de redescendre.

1. Indiquer les forces qui s’exercent sur le chariot et leur contribution dans l’énergie mécanique du chariot.
2. Expliquer pourquoi les forces de frottement doivent être négligées si on veut pouvoir utiliser la conservation de l’énergie mécanique.
3. En considérant les frottements négligeables, déterminer $h_{max}$, la valeur maximale possible pour $h_0$.
4. La hauteur $h_0$ est choisie égale à 90% de $h_{max}$.Déterminer la vitesse du chariot au sommet en fonction des données du problème.

Partie redescente et looping:

Le chariot redescend à la hauteur du sol avant de rentrer dans un looping modelisé par une trajectoire circulaire de rayon $R$. On repère la position du chariot par l’angle $\theta$ formé avec la direction $-\vec{u_z}$. (Le chariot est donc à $\theta=0$ au moment où il rentre dans le looping, $\theta=\pi$ au sommet et $\theta=2\pi$ à la sortie du looping.

1. Montrer que si l’énergie est conservée, le chariot rentre dans le looping avec une vitesse de norme $v_0$.
2. Exprimer l’énergie potentielle du chariot en fonction de $\theta$.
3. Déterminer la vitesse $\vec{v}$ du chariot en fonction de $\theta$ et l’exprimer dans le repère polaire dont l’origine se situe au centre du looping.
4. En se plaçant dans le référentiel du chariot, faire le bilan des forces agissant sur un passager.
5. Quelle devrait être la condition à vérifier pour qu’au sommet le passager ait une sensation d’apesanteur?

Partie virages et inversions:

On ne décrira pas en détails cette partie, toutefois, comme cette section du parcours est assez longue, les forces de frottement ne sont plus négligeables et font perdre au chariot environ $40$% de son énergie mécanique.

1. Quelle est la vitesse $v_1$ du chariot lorsqu’il rentre dans la partie de freinage, située à hauteur du sol?
2. Le chariot est ensuite freiné sur une distance $L$ jusqu’à l’arrêt complet. Déterminer la force de freinage $\vec{F_0}$ en supposant celle-ci constante.

Indications

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Corrigé

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Exercice 7: approche graphique, conditions d'équilibre (Juin 2012)

Enoncé

Un point matériel $M$ de masse $m$ est assujeti à se déplacer sur un axe horizontal $x’Ox$ de base $\vec{i}$.

I-Ce point est soumis à la seule force $\vec{F}=-kx\vec{i}$ où $k$ est une constante positive et $\vec{OM}=x\vec{i}$.

1. 1. Exprimer l’énergie potentielle $E_p(x)$ de $M$ en fonction de $x$ et de $k$.
  2. Représenter graphiquement $E_p(x)$ en fonction de $x$ et en déduire qu’il existe une position d’équilibre stable que l’on précisera.
  3. Exprimer l’énergie mécanique de $M$ en fonction des constantes du problème, de $x$ et de $\frac{dx}{dt}$.
  4. Donner l’équation différentielle vérifiée par $x$.

II-Le point $M$ est maintenant soumis aux deux seules forces $\vec{F_1}=\alpha x\vec{i}$ et $\vec{F_2}=-\beta x^3 \vec{i}$, où $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes positives.

1. 1. Exprimer l’énergie potentielle $E_p(x)$ de $M$ en fonction de $x$ et des constantes du problème.
  2. Représenter graphiquement $E_p(x)$ en fonction de $x$.
  3. Déterminer les positions d’équilibre de $M$ et étudier leur stabilité.

Indications

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Corrigé

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