(Rappels) dérivation: vecteurs et composées

Dans cette section, on va rappeler rapidement comment dériver des fonctions scalaires et vectorielles, ce qui nous permettra d’exprimer la vitesse et l’accélération d’un point dans les repères cartésien et cylindrique.

 

On rappelle la formule de dérivation d’un produit de fonctions, déjà vue au lycée. Pour \(u\) et \(v\) deux fonctions d’une variable \(t\), on a

 

\(\frac{d}{dt}(uv)=(\frac{d}{dt}u)v+u(\frac{d}{dt}v\))

 

Cette formule peut être appliquée à des produits de plus de deux fonctions. Par exemple, en multipliant par une troisième fonction \(w\):

 

\((\frac{d}{dt}uvw)=(\frac{d}{dt}u)vw+u(\frac{d}{dt}v)w+uv(\frac{d}{dt}w)\)

 

Cette relation est facile à démontrer, je vous invite à essayer ! (posez \(a=vw\) par exemple, et dérivez \(ua\).)

Ici, on utilise la notation de Leibniz, c’est à dire qu’on écrit les dérivées “\(\frac{d}{x}f(x)\)” au lieu de “\(f'(x)\)”. En effet, beaucoup de fonctions que nous verrons en physique sont à plusieurs variables, il faut donc indiquer par rapport à quelle variable on dérive.


Comme toujours, on a omis d’écrire les arguments des fonctions par soucis de lisibilité (attention, ne faites pas ça en maths !).

On peut, par récurrence, étendre cette relation à des produits supérieurs. Par exemple, pour 4 fonctions dépendant de \(t\): \(\frac{d}{dt}(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})=(\frac{d}{dt}x_{1})x_{2}x_{3}x_{4}+x_{1}(\frac{d}{dt}x_{2})x_{3}x_{4}+x_{1}x_{2}(\frac{d}{dt}x_{3})x_{4}+x_{1}x_{2}x_{3}(\frac{d}{dt}x_{4})\).

Pour nos calculs de cinématique, on aura seulement besoin des dérivées à 2 et 3 fonctions.

Cette formule est valable pour n’importe quel type de fonction, qu’elle soit scalaire ou vectorielle. On peut donc dériver des vecteurs ! Prenons par exemple un vecteur \(\vec{u}=5t\vec{i} \) (qu’on a donc exprimé dans la base cartésienne: \(x=5t\), \(y=0\) et \(z=0\)). Sa dérivée par rapport au temps vaut:

 

\(\frac{d}{dt}\vec{u}=(\frac{d}{dt}5t)\vec{i}+5t(\frac{d}{dt}\vec{i})\)

 

Or le vecteur \(\vec{i}\) est immobile: il ne varie pas par rapport au temps, sa dérivée vaut donc \(0\). Ainsi:

 

\(\frac{d}{dt}\vec{u}=(\frac{d}{dt}5t)\vec{i}=5\vec{i}\)

 

Pour les vecteurs à trois composantes, c’est exactement pareil: on somme juste les dérivées. 

📖 Important

Dérivée d’un vecteur de coordonnées \((a,b,c)\) dans une base \((\vec{e_{1}},\vec{e_{2}},\vec{e_{3}}\)):

 

\(\dot{a}\vec{e_{1}}+a\dot{\vec{e_{1}}}+\dot{b}\vec{e_{2}}+b\dot{\vec{e_{2}}}+\dot{c}\vec{e_{3}}+c\dot{\vec{e_{3}}}\)

On peut noter les dérivées temporelles avec un point au lieu d’une fraction (\(\dot{f}(t)\) au lieu de \(\frac{d}{dt}f(t)\)) pour simplifier l’écriture. Attention, cette notation est utilisée uniquement pour les dérivées par rapport au temps !

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions. La composée de \(g\) par \(f\) vaut, pour tout \(x\): \(f(g(x))\). Par exemple, si \(f(x)=\cos(x)\) et \(g(x)=5x\), alors \(f(g(x))=\cos(g(x))=\cos(5x)\).

Il existe une formule générale pour dériver les composées:

L’ensemble de départ (ou domaine de définition) de \(f\) doit être le même que l’ensemble d’arrivée de \(g\): dans le cas contraire, la composée ne serait pas toujours définie. En pratique, ce problème n’arrive pratiquement jamais dans les exercices de physique, mais attention en maths !

Les fonctions sont définies dans un “ensemble de fonctions” (où on manipule des fonctions au lieu des nombres). Au même titre que l’addition \(+\), la soustraction \(-\), etc, on définit également la composition \(o\). Les opérations élémentaires sur les fonctions sont donc:

    • \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)
    • \((f\times g)(x)=f(x)\times g(x)\)
    • \((fog)(x)=f(g(x))\)

 

Un meme qui illustre bien le concept de la composition de fonctions !

📖 Important

Dérivée d’une composée de fonctions: \(\frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{d}{dg(x)}f(g(x))\times\frac{d}{dx}g(x)\)

En pratique, comment ça marche? On commence d’abord par dériver \(f\) sans prendre en compte la fonction \(g\) “à l’intérieur”. Dans notre exemple, cela donne: \(\frac{d}{dg(x)}\cos(g(x))=-\sin(g(x))\). 

 

On va ensuite dériver \(g\) seulement: \(\frac{d}{dx}g(x)=\frac{d}{dx}5x=5\).

 

Le produit des deux membres donne enfin: \(\frac{d}{dx}\cos(5x)=-5\sin(5x)\).

Cette formule condense toutes les formules de dérivées que vous connaissez déjà (\(\cos(u)\), \(\ln(u)\), \(e^{u}\), etc). Une façon simple de la retenir est d’écrire les fonctions “de manière abrégée” (c’est à dire sans écrire les arguments): \(\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}\)

Avec ces deux formules, on a tous les outils nécessaires pour trouver les expressions de la vitesse et de l’accélération dans nos deux systèmes de coordonnées. Elles vous serviront également pour toute la suite de l’année, que ce soit en maths ou en physique.