Les coordonnées cylindriques et polaires

Précédemment, nous avons constaté la difficulté pour exprimer les mouvements circulaires à l’aide des coordonnées cartésiennes. On va donc introduire un nouveau système de coordonnées, cette fois basé sur les rayons et les angles.

 

 

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Nous avons déjà trouvé une manière de repérer les objets et leurs mouvements dans l’espace (rappelez vous de l’exemple de la lampe): on se déplace d’une certaine distance à notre droite, puis devant nous, puis en hauteur (\( \vec{OM}= x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} \)). On a vu qu’elle correspondait aux coordonnées cartésiennes.  En se basant sur ce raisonnement, quelle autre manière de se repérer pourrait-on imaginer?

Imaginons qu’on cherche là aussi à atteindre un objet, le point \(M\). On commence en \(O\), en regardant dans la direction de l’axe \((Ox)\). Voilà comment, là encore en trois mouvements, on pourrait atteindre le point \(M\):

 

    • Se tourner d’un angle \(\theta\) dans la direction de \(M\).
    • Parcourir la distance \(r\) pour arriver jusqu’à \(M\).
    • Remonter d’une hauteur \(h\) (qu’on appellera aussi \(z\) en général).
Les coordonnées cylindriques: une autre façon de penser le mouvement

Fountain Pen on OpenMoji 12.3Définition 4

Les coordonnées cylindriques d’un point s’écrivent (\(r\), \(\theta\), \(z\)).  

Les coordonnées polaires (\(r\), \(\theta\)) sont simplement des coordonnées cylindriques “aplaties” (sans la hauteur) et servent donc à décrire les mouvements (circulaires de préférence) dans un plan.

On rajoute les vecteurs à notre système de coordonnées

Pour pouvoir écrire le vecteur position en coordonnées cylindriques, il nous reste juste à donner des noms aux directions qu’on a utilisées:

 

    • Lorsqu’on tourne de \(\theta\), on se déplace selon le vecteur \(\vec{e_{\theta}}\). C’est le vecteur le plus difficile à visualiser: il est tangent à l’angle \(\theta\) lorsqu’on le dessine.
    • Le vecteur \(\vec{e_{r}}\) est celui qui nous permet ensuite d’avancer dans la direction de \(M\).
    • La dernière coordonnée \(z\) étant la même qu’en coordonnées cartésiennes, le vecteur qui la porte reste le même: \(\vec{k}\). On l’appelle aussi parfois \(\vec{e_{z}}\).

Le mouvement en coordonnées cylindriques peut alors se résumer de cette façon: je tourne de \(\theta\) selon \(\vec{e_{\theta}}\), j’avance de \(r\) selon \(\vec{e_{r}}\), puis je monte de \(z\) selon \(\vec{k}\).

Contrairement aux vecteurs \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) et \(\vec{k}\), les vecteurs \(\vec{e_{r}}\) et \(\vec{e_{\theta}}\) sont donc mobiles ! Ils bougent en même temps que le point \(M\) pour s’adapter à son déplacement: on verra plus tard que ça a une grande importance, notamment pour décrire la vitesse et l’accélération d’un point en coordonnées cylindriques.

 

Comme en coordonnées cartésiennes, la base (\(\vec{e_{r}},\vec{e_{\theta}},\vec{z}\)) est une base orthonormée directe (rappel: ses vecteurs sont orthogonaux, de norme \(1\), et forment un trièdre direct): cela se remarque d’ailleurs graphiquement sur le schéma. Comme cette base est “attachée” localement à \(M\), on l’appelle parfois la base locale: souvenez vous-en pour vos exercices !

📖 Important

En coordonnées cylindriques, le vecteur position s’écrit donc:

 

\(\vec{OM}=r\vec{e_{r}}+z\vec{k}\)

On remarque que la coordonnée \(\theta\) n’est pas représentée dans l’expression du vecteur position. En fait, elle intervient de manière implicite: c’est l’angle \(\theta\) qui va indiquer au vecteur \(\vec{e_{r}}\) la direction à suivre pour être “en face” du point \(M\).

Les coordonnées \(r\) et \(\theta\) sont bornées: \(r\in[0;+\infty[\) et \(\theta\in[0;2\pi[\). 

 

Ces limitations permettent en effet de se déplacer n’importe où dans l’espace; si on les enlevait (en autorisant à \(r\) d’être négatif par exemple), on arriverait à une contradiction puisqu’on pourrait exprimer les coordonnées d’un point de deux manières différentes, ce qui est contraire au principe d’une base de vecteurs.

 

Comme toujours, ces coordonnées varient en fonction du temps en général. On devrait donc, en toute rigueur, les écrire \(r(t)\), \(\theta(t)\) et \(z(t)\).

Dans les exercices, on aura souvent besoin de changer de systèmes de coordonnées: l’énoncé peut, par exemple, nous donner la coordonnée \(r\) d’un point et son angle \(\theta\) avec l’axe \((Ox)\), alors qu’on préférerait traiter l’exercices avec les coordonnées cartésiennes ! On va voir ici comment passer du repère cylindrique au cartésien. Les relations de passages inverses (cartésien vers cylindrique, donc) vous sont laissées en exercice à la page suivante.

 

Pour qu’il soit plus lisible, considérons notre système de coordonnées vu du dessus (la coordonnée \(z\) étant la même dans les deux repères, il n’est pas nécessaire de la représenter).

Les repères cartésien et polaire

On cherche donc à exprimer les coordonnées cartésiennes \(x\) et \(y\) en fonction de \(r\) et \(\theta\). La bonne nouvelle, c’est qu’on a déjà fait tout le travail ! Dans l’exercice 2 (page précédente), on a utilisé les propriétés fondamentales du cercle trigonométrique pour trouver les deux relations:

 

    • \(x=r\cos(\theta)\)
    • \(y=r\sin(\theta)\)

Connaître \(r\) et \(\theta\) suffit donc à déterminer \(x\) et \(y\). 

Si vous rencontrez des difficultés avec le raisonnement, je vous invite à retourner voir la correction de l’exercice 2. Une autre manière (tout à fait équivalente) de prouver ces deux relations est de visualiser un triangle rectangle d’hypothénuse \(r\) et d’utiliser les formules trigonométriques vues au collège (SOH CAH TOA):
  • \(\sin(\theta)=\frac{opposé}{hypothénuse}=\frac{y}{r}\), donc \(y=r\sin(\theta)\)
  • \(cos(\theta)=\frac{adjacent}{hypothénuse}=\frac{x}{r}\), donc \(x=r\cos(\theta)\)

Il nous reste à exprimer les vecteurs \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\) en fonction de \(\vec{e_{r}}\) et \(\vec{e_{\theta}}\). Il faut pour cela faire une projection: l’idée reste la même (on raisonne sur le cercle trigonométrique), sauf qu’on manipule des vecteurs et non des quantités scalaires. Nous verrons en détails la méthode pour bien projeter plus tard dans le cours, mais essayons déjà comprendre le principe du raisonnement maintenant.

La figure ci-dessus est strictement identique à la figure précédente: on a juste dessiné le vecteur \(-\vec{e_{\theta}}\) pour bien mettre en évidence la décomposition de \(\vec{i}\) dans la base \((\vec{e_{r}},\vec{e_{\theta}})\).

En effet, ici pour atteindre \(\vec{i}\) avec ces deux vecteurs, on va: avancer de \(\cos(\theta)\) dans la direction de \(\vec{e_{r}}\), puis avancer de \(\sin(\theta)\) dans la direction de \(-\vec{e_{\theta}}\) (rappelez vous du cercle trigonométrique). En décomposant de la même façon pour \(\vec{j}\), on trouve finalement:

    • \(\vec{i}=\cos(\theta)\vec{e_{r}}-\sin(\theta)\vec{e_{\theta}}\)
    • \(\vec{j}=\sin(\theta)\vec{e_{r}}+\cos(\theta)\vec{e_{\theta}}\)

Je vous conseille de ne pas apprendre ces relations par coeur, mais plutôt de maîtriser les projection pour les retrouver instantanément, et ça pour deux raisons: d’abord, vous risquez de les oublier ou de les confondre entre elles (et les autres projections que nous ferons), mais aussi parce que les deux bases peuvent être orientées différemment ! C’est notamment le cas des exercices de pendule, où l’angle qu’on étudiera sera en général celui entre le fil et la verticale, et non pas l’horizontale. 

Voilà pour le repère cylindrique: encore une fois, n’apprenez pas les formules de conversion par coeur, on s’entraînera aux projections dès la fin du cours. Avant de parler de vitesse et d’accélération, on va justement faire un exercice sur les relations de passage inverses (du repère cartésien au cylindrique)