Les coordonnées cartésiennes

Dans l’introduction, nous avons vu que ce chapitre avait un objectif majeur: nous apprendre à décrire la position, la vitesse et l’accélération d’un objet à n’importe quel instant, le tout de manière mathématiquement rigoureuse. Pour cela, il va falloir utiliser les concepts que nous comprenons déjà intuitivement, et les “traduire” dans le language mathématique. Commencons d’abord par bien comprendre le concept de position.


Speech Balloon on HTC Question 

Observez n’importe quel objet autour de vous, par exemple la lampe qui est dans votre pièce. Vous avez droit à 3 mouvements pour vous déplacer jusqu’à elle et l’atteindre: comment vous y prenez-vous?

 

Il y a beaucoup de manières de répondre à cette question, mais l’une d’elles est particulièrement simple et intuitive: vous allez vous déplacer de x mètres vers la gauche/droite, puis de y mètres en avant/arrière, et enfin de z mètres vers le haut/bas pour arriver jusqu’à la lampe. Sans le savoir, nous venons d’utiliser un système de coordonnées cartésiennes !

Le schéma suivant formalise tout ça. Plus rigoureusement, pour aller du point \( O\) (vous) au point \( M\) (la lampe), vous devez:


    • Suivre la flèche \( \vec{i} \) pendant \( x\) mètres. Autrement dit, avancer de \( x\vec{i}\).
    • Suivre la flèche \( \vec{j} \) pendant \( y \) mètres. Autrement dit, avancer de \( y\vec{j}\).
    • Suivre la flèche \( \vec{k} \) pendant \( z \) mètres. Autrement dit, avancer de \( z\vec{k}\).

Ce que j’ai appelé “flèches” sont en fait des vecteurs. Ainsi, la flèche qu’on vient de créer entre les points \( O \) et \( M \) décrit la position de la lampe (ou de n’importe quel objet, vous l’aurez compris). On l’appelle le vecteur position, et nous venons de trouver son expression grâce au raisonnement précédent.

Représentation graphique d'un repère cartésien

📖 Important

Le vecteur qui relie l’origine \( O\) au point  \( M\) est le vecteur position \( \vec{OM}\). En coordonnées cartésiennes, il s’écrit: 

 \( \vec{OM}= x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} \)

Une autre façon de l’écrire est: \(\vec{OM}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}_{(\vec{i},\vec{j},\vec{k})}\) et, s’il n’y a aucune ambiguité, on peut simplement écrire \(\vec{OM}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\).

Fountain Pen on OpenMoji 12.3Définition 1

Les coordonnées cartésiennes d’un point s’écrivent \((x,y,z)\).

Dans notre exemple, l’objet qu’on considère (la lampe) est fixe, ses coordonnées \(x\), \(y\) et \(z\) sont donc constantes. Mais en général, la position des objets qu’on étudiera sera dépendante du temps, sinon la mécanique (la “science du mouvement”) n’aurait pas grand intérêt !

 

Pour être parfaitement rigoureux, on devrait donc écrire les coordonnées comme des fonctions du temps: \(x(t)\), \(y(t)\) et \(z(t)\). Cependant, toujours pour alléger l’écriture, on continuera de les écrire \(x\), \(y\) et \(z\).

 

Les coordonnées dépendent de l’origine. Dans notre exemple de la lampe, si notre point de départ était sous la lampe, on aurait juste à monter d’une hauteur \(z\) pour l’atteindre: ses coordonnées \(x\) et \(y\) vaudraient alors \(0\), et son vecteur position serait donc: \(\vec{OM}=z\vec{k}\), ou encore : \(\vec{OM}=\begin{pmatrix}0\\0\\z\end{pmatrix}\).

Il est donc important de définir une origine avant d’utiliser un repère.

Fountain Pen on OpenMoji 12.3Définition 2

    • Les vecteurs \(\vec{i} \), \( \vec{j}\) et \(\vec{k} \) forment la base cartésienne. On la note \((\vec{i},\vec{j},\vec{k}) \).
    • Le repère cartésien est la base cartésienne à laquelle on rajoute une origine \( O\). Ainsi, on le note \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}) \).

Cette base possède plusieurs propriétés implicites:

 

1.  Ses trois vecteurs \(\vec{i} \), \(\vec{j} \) et \(\vec{k} \) sont unitaires, c’est à dire qu’ils sont tous de norme \(1\).

 

2. La base est orthogonale: le produit scalaire entre deux vecteurs différents donnera toujours \(0\), et celui entre deux vecteurs identiques donnera toujours \(1\). Par exemple: \(\vec{i}.\vec{j}=0\) et \(\vec{i}.\vec{i}=1\).

 

3. Ils forment un trièdre direct: le produit vectoriel entre deux vecteurs qui se suivent (c’est à dire \(\vec{i} \) et \(\vec{j} \), ou \(\vec{j} \) et \(\vec{k} \)) donnera toujours le vecteur restant (exemple: \(\vec{i}\wedge\vec{j}=\vec{k}\). Sinon, il donnera son opposé (\(\vec{j}\wedge\vec{i}=-\vec{k}\)).

On peut utiliser la “règle de la main droite” pour trouver les orientations des trois vecteurs lorsqu’on les dessine.

 

Toutes ces propriétés font de \((\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) une base orthonormée directe.

On vérifie facilement ces trois propriétés en sachant que \(\vec{i}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{j}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec{k}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\), je vous invite d’ailleurs à essayer ces opérations par vous-mêmes ! Si vous avez du mal avec les normes et les produits scalaires et vectoriels, je vous invite à consulter le chapitre dédié aux vecteurs.

D’un point de vue algébrique, le fait que \((\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) soit une base signifie deux choses:

 

1.\((\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) est une famille génératrice, c’est à dire qu’on peut atteindre n’importe quel point de l’espace en utilisant ces trois vecteurs.

 

2.\((\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) est également une famille libre: les trois vecteurs sont indépendants, on ne peut pas “créer” \(\vec{i}\) en sommant \(\vec{j}\) et \(\vec{k}\) par exemple.

 

Le fait qu’il y ait exactement trois vecteurs n’est donc pas un hasard: si on en enleve un, la famille n’est plus génératrice (par exemple, en retirant \(\vec{k}\) de la base, on ne peut plus se déplacer vers le haut !) et si on en rajoute un, la famille n’est plus libre.

 

De manière générale, toutes les bases que nous verrons en physique auront trois vecteurs. Cela vient du fait que notre univers est un espace vectoriel de dimension \(3\) (du point de vue de la mécanique classique) et nécessite donc trois vecteurs pour former une base. Vous approfondirez ça dans votre cours d’algèbre, au second semestre.

C’est tout pour cette première partie ! On a vu toutes les notions élémentaires qui nous permettront de décrire la position d’un système; le but sera maintenant de les maîtriser dans d’autres repères (en particulier le cylindrique), qui seront plus avantageux pour résoudre certains problèmes. Mais avant ça, voyons deux petits exercice pour bien nous familiariser avec le repère cartésien que nous venons de définir.